Question

15．如图1所示，A、B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN．桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
【问题解决】
如图2，过点B作BB′⊥l₂，且BB′等于河宽，连接AB′交l₁于点M，作MN⊥l₁交l₂于点N，则MN就为桥所在的位置．
【类比联想】
（1）如图3，正方形ABCD中，点E、F、G分别在AB、BC、CD上，且AF⊥GE，求证：AF=EG．
（2）如图4，矩形ABCD中，AB=2，BC=x，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD上，且EG⊥HF，设y=$\frac{HF}{EG}$，试求y与x的函数关系式．
【拓展延伸】
如图5，一架长5米的梯子斜靠在竖直的墙面OE上，初始位置时OA=4米，由于地面OF较光滑，梯子的顶端A下滑至点C时，梯子的底端B左滑至点D，设此时AC=a米，BD=b米．
（3）当a=1　米时，a=b．
（4）当a在什么范围内时，a＜b？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）过点作DH⊥AF交AB于点H，则有∠1+∠2=90°，故四边形DGEH是平行四边形，再由ASA定理得出△ABF≌△DAH，由此可得出结论；
（2）作DM∥GE交AB于点M，作AN∥HF交BC于点N，根据直角三角形的性质得出∠1+∠2=90°，再根据四边形ABCD是矩形可知∠3+∠2=90°，由相似三角形的性质得出△ABN∽△DAM，根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论；
（3）过点B作DC的平行线，过点C作OF的平行线，两线交于点P，连接AP，由题意可得DBPC为平行四边形，可得出∠BAP=∠3+∠1=∠BPA=∠4+∠2．
（4）若a＜b，即AC＜BD=CP，因而在△ACP中，由等边对等角可知∠3＜∠5，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．

解答 （1）证明：如图3，过点作DH⊥AF交AB于点H，则有∠1+∠2=90°．
∵GE⊥AF，
∴DH∥GE．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠3+∠2=90°，BA=AE，DG∥HE，
∴∠3=∠1，四边形DGEH是平行四边形．
∴DH=GE，
在△ABF与△DAH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠3=∠1}\\{AB=AD}\\{∠B=∠DAH}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△DAH，
∴DH=AF，
∴AF=GE；
（2）解：作DM∥GE交AB于点M，作AN∥HF交BC于点N（如图4）．
∵EG⊥HF，
易得DM⊥AN，
∴∠1+∠2=90°．
又∵四边形ABCD是矩形，
∴∠3+∠2=90°，
∴∠3=∠1，且四边形ANFH及四边形MEGD均为平行四边形，
∴AN=HF，DM=EG．
∵∠3=∠1，∠B=∠MAD=90°，
∴△ABN∽△DAM，
∴$\frac{AN}{DM}$=$\frac{HF}{EG}$=$\frac{AB}{DA}$=$\frac{AB}{BC}$，
∴y=$\frac{2}{x}$；
（3）解：∵CO=4-a，DO=3+b．
∴Rt△DOC中，DC²=（4-a）²+（3+b）²，
即（4-a）²+（3+b）²=5²．
当a=b时，有（4-a）²+（3+a）²=25，
解得a=1或a=0（不合题意）．
故答案为：1；
（4）当0＜a＜1时，a＜b．理由如下：
如图5，过点B作DC的平行线，过点C作OF的平行线，两线交于点P，连接AP．
∵CD∥BP，PC∥OF，
∴DBPC为平行四边形，
∴BP=DC，CP=BD．
又AB=DC，
∴BP=AB．
∴∠BAP=∠3+∠1=∠BPA=∠4+∠2．
若a＜b，即AC＜BD=CP，因而在△ACP中，
∵∠1＞∠2，
∴∠3＜∠4．
又∵∠5=∠4，
∴∠3＜∠5．
∵Rt△ABO中，sin∠3=$\frac{OB}{AB}$=$\frac{3}{5}$，
同理sin∠5=$\frac{OC}{CD}$=$\frac{4-a}{5}$，
由题意得，$\frac{4-a}{5}$＞$\frac{3}{5}$，
解得，即0＜a＜1．

点评 本题考查的是四边形综合题，涉及到平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，解答时，要灵活运用全等三角形的判定定理和性质定理、锐角三角函数的定义、相似三角形的判定定理和性质定理．