Question

图1、图2、图3是分别由两个公共顶点A的正三角形、正四边形和正五边形组成的图形，且其中一个正多边形的顶点B′在另一个正多边形的边BC上．
（1）图1中，求∠B′CC′；
（2）图2中，求∠B′CC′；
（3）图3中，求∠B′CC′；
（4）当满足条件的图形为正n边形时（如图4），求∠B′CC′．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）如图1，由等边三角形的性质，可以得出△ABB′≌△ACC′，就可以得出∠B=∠ACC′，就可以得出结论；
（2）如图2，作C′G⊥BC交延长线于点G，就可以得出△ABB′≌△B′GC′，就可以得出∠B=∠G，BB′=GC′，AB=B′G，就可以得出∠GCC′的值，就可以得出结论；
（3）如图3，延长BC到G，使CG=BB′，就可以得出△ABB′≌△B′GC′，就可以得出∠B=∠G，BB′=GC′，AB=B′G，就可以得出∠GCC′的值，就可以得出结论；
（4）如图4，延长BC到G，使CG=BB′，就可以得出△ABB′≌△B′GC′，就可以得出∠B=∠G，BB′=GC′，AB=B′G，就可以得出∠GCC′的值，就可以得出当正多边形的边数为n时∠B′CC′=180°-

180°

n

．

解答：解：（1）如图1，∵△ABC与△AB′C′是等边三角形，
∴AB=AC，AB′=AC′，∠BAC=∠B′AC′=∠ACB=60°．
∴∠BAC-∠2=∠B′AC′-∠2，
∴∠1=∠3．
在△ABB′和△ACC′中

AB=AC ∠1=∠3 AB′=AC′

，
∴△ABB′≌△ACC′（SAS），
∴∠B=∠ACC′=60°．
∴∠B′CC′=60°+60°=120°．
故答案为：120°；
（2）如图2，作C′G⊥BC交延长线于点G，
∴∠B′GC′=90°．
∵四边形ABCD与四边形AB′C′D′是正方形，
∴AB=BC，AB′=B′C′，∠B=∠AB′C′=90°，
∴∠BAB′+∠AB′B=90°，∠AB′B+∠C′B′G=90°，∠B=∠B′GC′，
∴∠BAB′=∠C′B′G．
在△ABB′和△B′GC′中，

∠B=∠B′GC′ ∠BAB′=∠C′B′G AB′=B′C′

，
∴ABB′≌△B′GC′（AAS），
∴∠B=∠G=90°，BB′=GC′，AB=B′G，
∴BC=B′G，
∴BC-B′C=B′G-B′C，
∴BB′=CG，
∴CG=C′G，
∴∠C′CG=45°，
∴∠B′CC′=135°
答：∴∠B′CC′=135°；
（3）如图3，延长BC到G，使CG=BB′，
∴CG+B′C=BB′+B′C，
∴BC=B′G．
∵多边形ABCDE和多边形AB′C′D′E′是正五边形，
∴AB=BC，AB′=B′C′，∠B=∠AB′C′=108°，
∴∠BAB′+∠BB′A=72°，∠BB′A+∠GB′C′=72°，AB=B′G，
∴∠BAB′=∠C′B′G．
在△ABB′和△B′GC′中，

AB=B′G ∠BAB′=∠C′B′G AB′=B′C′

，
∴ABB′≌△B′GC′（AAS），
∴∠B=∠G=108，
∴BB′=GC′，
∴CG=C′G，
∴∠GCC′=36°，
∴∠B′CC′=144°．
故答案为：144°；
（4）如图4，延长BC到G，使CG=BB′，
∴CG+B′C=BB′+B′C，
∴BC=B′G．
∵多边形ABCM和多边形AB′C′M′是边数相同的正多边形，
∴AB=BC，AB′=B′C′，∠B=∠AB′C′=180°-

360

n

，
∴∠BAB′+∠BB′A=

360

n

，∠BB′A+∠GB′C′=

360

n

，AB=B′G，
∴∠BAB′=∠C′B′G．
在△ABB′和△B′GC′中，

AB=B′G ∠BAB′=∠C′B′G AB′=B′C′

，
∴ABB′≌△B′GC′（AAS），
∴∠B=∠G=180°-

360

n

，
∴BB′=GC′，
∴CG=C′G，
∴∠GCC′=

180

n

，
∴∠B′CC′=180°-

180°

n

．
故答案为：180°-

180°

n

．

点评：本题考查了多边形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，正多边形的内角与外角的关系的运用，解答时运用正多边形的外角与内角的关系证明三角形全等是关键．