Question

如图，已知反比例函数y₁=（k₁＞0）与一次函数y₂=k₂x+1（k₂≠0）相交于A、B两点，AC⊥x轴于点C．若△OAC的面积为1，且tan∠AOC=2．
（1）求出反比例函数与一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）请直接指出当x为何值时，反比例函数y₁的值大于一次函数y₂的值？

Answer 1

解：（1）∵△OAC的面积为1，
∴k₁=2，即反比例解析式为y₁=，
设A点坐标为（a，），
∵tan∠AOC=2，
∴=2，即AC=2OC，
∴=2a，解得a=1（负根舍去），
∴A点坐标为（1，2），
把A（1，2）代入y₂=k₂x+1（k₂≠0）得2=k₂+1，解得k₂=1，
∴一次函数的解析式为y₂=x+1；
（2）连接OB，如图，
解方程组得和，
∴B点坐标为（-2，-1），
对于y₂=x+1，令y=0，则x+1=0，解得x=-1，
∴D点坐标为（-1，0），
∴S_△ABO=S_△ADO+S_△BDO=×1×2+×1×1=；
（3）当x＜-2或0＜x＜1时，反比例函数y₁的值大于一次函数y₂的值．
分析：（1）根据反比例函数k的几何意义由△OAC的面积为1得到k₁=2，即反比例解析式为y₁=，设A点坐标为（a，），根据正切的定义可得=2，即AC=2OC，可求得a=1，则A点坐标为（1，2），然后把A（1，2）代入一次函数y₂=k₂x+1（k₂≠0）可计算出k₂=1，于是得到一次函数的解析式为y₂=x+1；
（2）先解两个函数解析式所组的方程组得到B点坐标为（-2，-1），再确定D点坐标（-1，0），然后利用S_△ABO=S_△ADO+S_△BDO进行计算；
（3）观察函数图象得到当x＜-2或0＜x＜1时，反比例函数图象都在一次函数的上方，即反比例函数y₁的值大于一次函数y₂的值．
点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．也考查了三角形面积公式．