Question

【题目】如图：△ABC中，∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC=AD，CE⊥CD，且CE=CD，连接BD，DE，BE，则下列结论：①∠ECA=165°，②BE=BC；③AD⊥BE；④=1.其中正确的是（ ）

A.①②③

B.①②④

C.①③④

D.①②③④

Answer 1

【答案】D

【解析】

试题分析：①根据：∠CAD=30°，AC=BC=AD，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出∠ECA=165°，从而得证结论正确；

②根据CE⊥CD，∠ECA=165°，利用SAS求证△ACD≌△BCE即可得出结论；

③根据∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC，利用等腰三角形的性质和△ACD≌△BCE，求出∠CBE=30°，然后即可得出结论；

④过D作DM⊥AC于M，过D作DN⊥BC于N.由∠CAD=30°，可得CM=AC，求证△CMD≌△CND，可得CN=DM=AC=BC，从而得出CN=BN.然后即可得出结论.

解：①∵∠CAD=30°，AC=BC=AD，∴∠ACD=∠ADC=（180°﹣30°）=75°，

∵CE⊥CD，∴∠DCE=90°，

∴∠ECA=165°∴①正确；

②∵CE⊥CD，∠ECA=165°（已证），

∴∠BCE=∠ECA﹣∠ACB=165﹣90=75°，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴BE=BC，∴②正确；

③∵∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC，

∴∠CAB=∠ABC=45°

∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=45﹣30=15°，

∵△ACD≌△BCE，

∴∠CBE=30°，

∴∠ABF=45+30=75°，

∴∠AFB=180﹣15﹣75=90°，

∴AD⊥BE.

④证明：如图，

过D作DM⊥AC于M，过D作DN⊥BC于N.

∵∠CAD=30°，且DM=AC，

∵AC=AD，∠CAD=30°，∴∠ACD=75°，

∴∠NCD=90°﹣∠ACD=15°，∠MDC=∠DMC﹣∠ACD=15°，

在△CMD和△CND中，

，

∴△CMD≌△CND，

∴CN=DM=AC=BC，

∴CN=BN.

∵DN⊥BC，

∴BD=CD.∴④正确.

所以4个结论都正确.

故选D.