Question

18．（1）如图1，在△ABC中BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，过点O作直线EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，猜想EF和BE、CF有何关系？说明理由．
（2）如图2，若将（1）中的“BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB”改为“BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB的外角”，其他条件不变，则EF与BE、CF的关系又如何？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）等腰三角形有△BEO和△CFO，根据角平分线性质和平行线性质推出∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，根据等角对等边推出即可；根据BE=OE，CF=OF即可得出EF与BE、CF之间的关系；
（2）等腰三角形有△BEO和△CFO，根据角平分线性质和平行线性质推出∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，根据等角对等边推出即可；根据BE=OE，CF=OF即可得出EF与BE、CF之间的关系．

解答 解：（1）EF=BE+CF．
理由：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB，
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，
∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，
∴BE=OE，CF=OF，
∴EF=BE+CF．

（2）EF=BE-CF，
理由：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD，
∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCD，
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCD，
∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，
∴BE=OE，CF=OF，
∴EF=BE-CF．

点评 本题考查了角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识点，关键是推出BE=OE，CF=OF．