Question

从1到100这100个自然数中，任意取出51个数，其中一定存在两个数，这两个数中的一个是另一个的整数倍．

Answer 1

分析：根根据抽屉原理：任何一个自然数都可以表示成一个奇数与2ⁿ和乘积的形式，而且这种表示方法是惟一的．可构造50个抽屉，从而验证了这个结论．

解答：证明：由于任何一个自然数都可以表示成一个奇数与2ⁿ和乘积的形式，而且这种表示方法是惟一的．因此，我们可以按下面的方法来构造50个抽屉：
{1，1×2，1×2²，，1×2³，1×2⁶}；
{3，3×2，3×2²，3×2³，3×2⁴，3×2⁵}；
{5，5×2，5×2²，5×2³，5×2⁴}；
…；
{49，49×2}；
{51}；
{53}；
…；
{99}．
于是从这50个抽屉中任取51个数，根据抽屉原则，其中一定存在至少两个数属于同一个抽屉，即命题得证．

点评：本题是一道竞赛题，考查了抽屉原理，解决此题的关键是写出这50个抽屉．