Question

如图，在直角△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AC=4，D是AC边上的一个动点（不与A、C点重合），过点D作AC边的垂线，交线段BC于点E，点F是线段EC的中点，作DH⊥DF，交射线AB于点H，交射线CB于点G．
（1）求证：GD=DC．
（2）设AD=x，HG=y．求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域．

Answer 1

（1）证明：∵ED⊥AC，∠C=30°，F是EC的中点，
∴DF=FC，∠C=∠FDC=30°，
∴∠GFD=60°，又GD⊥DF，
∴∠CGD=∠C=30°，
∴GD=DC．

（2）解：∵∠ABC=90°，∠C=30°，AC=4，
∴∠A=60°，AB=2，
又∠HDA=∠C+∠CGD=60°，
∴AH=HD=AD，
∵AD=x，AC=4，HG=y，
∴GD=CD=4-x，
①若DH交线段AB的延长线于点H（如图1）
有HG+GD=AD，
∴y+4-x=x，
∴y=2x-4（2≤x＜4），
②若DH交线段AB于点H（如图2）
有GD-GH=AD，
∴4-x-y=x，
∴y=4-2x（1≤x＜2），
答：y关于x的函数解析式是y=2x-4（2≤x＜4）或 y=4-2x（1≤x＜2）．
分析：（1）根据直角三角形的性质和三角形的外角性质得出∠CGD=∠C，根据等腰三角形的判定即可求出答案；
（2）根据直角三角形的性质和三角形的内角和定理得到∠A=60°，AB=2，推出AH=HD=AD，求出GD=CD=4-x，①若DH交线段AB的延长线于点H，求出y+4-x=x，②若DH交线段AB于点H，求出4-x-y=x，整理后即可得到答案．
点评：本题主要考查对三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，直角三角形的斜边上的中线性质，含30度角的直角三角形的性质，根据实际问题列一次函数解析式，三角形的外角性质等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．