Question

如图，正方形OABC边长为2，O是直角坐标系的原点，点A，C分别在x轴，y轴上．点P沿着正方形的边，按O→A→B的顺序运动，设点P经过的路程为x，△OPB的面积为y．
（1）求出y与x之间的函数关系式，写出自变量x的取值范围；
（2）探索：当时，点P的坐标；
（3）是否存在经过点（0，-1）的直线平分正方形OABC的面积？如果存在，求出这条直线的解析式；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）分两种情况：
①当点P在线段OA上运动时，如图1，

y=x×2，
即y=x，0＜x≤2；
②当点P在线段AB上运动时（不含点A），如图2，
y=（4-x）×2，
即y=-x+4，2＜x＜4；
（2）由题意可知：
①=x，
此时，点P（，0），
②=-x+4，
x=，
x-2=．
此时，点P（2，），
综合（2）中的①，②可得P（，0）或P（2，）；

（3）如图3，存在满足条件的直线．
设这条直线的解析式为y=kx-1，
由于直线平分正方形OABC的面积，可得：OM=BN，延长AB，交直线与点H，
∵△POM≌△HBN，
∴BH=OP=1，
∴H（2，3），
由点H在直线上，得3=2k-1，
∴k=2，
∴所求直线的解析式为y=2x-1，
另法：由直线平分正方形AOCB的面积，
可知，直线过正方形AOCB的中心．
∴直线过（1，1）点，
∴直线的解析式为y=2x-1．
分析：（1）根据三角形面积公式建立起x和y之间的函数关系式，并分点P在线段OA上运动时和点P在线段AB上运动时（不含点A）两种情况讨论；（2）将y=代入求值即可；（3）先画出图形进行猜想，然后利用三角形相似或正方形的对称性求出直线所经过的点，进而求出解析式．
点评：此题将一次函数和正方形、三角形相结合并具有一定的开放性，考查了同学们对三角形面积公式、正方形的性质以及一次函数的性质的认识，有利于培养同学们的探索发现意识和严密的数学思维习惯．