Question

已知Rt△ABC的斜边AB=10cm，AC=6cm．
（1）以点C为圆心，当半径为多长时，AB与⊙C相切；
（2）以点C为圆心，2cm长为半径作⊙C，若⊙C以2厘米/秒的速度沿CB由C向B移动，经过多长时间⊙C与AB相切？

Answer 1

分析：（1）过点C作CD垂直于AB，根据直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，可得出圆C与AB相切时，CD为此时圆C的半径，在直角三角形ABC中，由AB及AC的长，利用勾股定理求出BC的长，由直角三角形的面积可以由斜边AB与高CD乘积的一半来，也可以由两直角边乘积的一半来求，可得出CD的长，即为AB与圆C相切时的半径；
（2）如图所示，当圆心C与点E重合时，圆C与AB相切，切点为点F，连接EF，由切线的性质得到EF垂直于AB，且EF等于圆C的半径，由一对直角相等，且一对公共角相等，根据两对对应角相等的两三角形相似，可得出三角形BEF与三角形ABC相似，由相似得比例，将AC，AB，EF的长代入求出EB的长，再由CB-EB求出CE的长，即为圆心C运动的路程，用路程除以速度，即可求出圆C与AB相切时所用的时间．

解答：解：（1）过C作CD⊥AB，交AB于点D，如图所示：

Rt△ABC的斜边AB=10cm，AC=6cm，
根据勾股定理得：BC=

AB2-AC2

=8cm，
∵S_△ABC=

1

2

AB•CD=

1

2

AC•BC，
∴CD=

AC•BC

AB

=4.8cm，
则以点C为圆心，当半径为4.8cm时，AB与⊙C相切；

（2）当点C与E重合时，⊙C与AB相切，如图所示：

连接EF，则EF⊥AB且EF=2cm，又AC⊥CB，
∴∠EFB=∠ACB=90°，又∠EBF=∠ABC，
∴△BEF∽△BAC，
∴

EF

AC

=

EB

AB

，又EF=2cm，AC=6cm，AB=10cm，
∴EB=

EF•AB

AC

=

10

3

（cm），
∴CE=CB-EB=8-

10

3

=

14

3

（cm），又点C的速度为2厘米/秒，
∴点C运动的时间为

14

3

÷2=

7

3

（秒），
则经过

7

3

秒⊙C与AB相切．

点评：此题考查了切线的性质，涉及的知识有：勾股定理，相似三角形的判定与性质，三角形的面积求法，当直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．