Question

自然数a₁，a₂，…，a₁₀的和为1001，d为a₁，a₂…，a₁₀的最大公约数，则d的最大值为

91

．

Answer 1

分析：由于d为a₁，a₂…，a₁₀的最大公约数，所以自然数a₁，a₂，…，a₁₀的和1001能被d整除，即d是1001=7×11×13的约数，因为d|ak，所以ak≥d，k=1，2，3，…，10，从而1001=a₁+a₂+…+a₁₀≥10d，所以，由d能整除1001得，d仅可能取1，7，11，13，77，91．因为1001能写成10个数的和：91+91+91+91+91+91+91+91+91+182，其中每一个数都能被91整除，从而可得出答案．

解答：解：由于d为a₁，a₂…，a₁₀的最大公约数，所以自然数a₁，a₂，…，a₁₀的和1001能被d整除，
即d是1001=7×11×13的约数，
因为d|ak，所以ak≥d，k=1，2，3，…，10，
从而1001=a₁+a₂+…+a₁₀≥10d，
所以，由d能整除1001得，d仅可能取值1，7，11，13，77，91．
因为1001能写成10个数的和：91+91+91+91+91+91+91+91+91+182，
其中每一个数都能被91整除，
所以d的最大值为91，
故答案为：91．

点评：本题考查了最大公约数，难度较大，关键是考查学生的逻辑思维能力．