Question

已知△ABC、△DBM都是等边三角形，直线AM、BC交于点E，直线DC、BM交于点F．
探究：如图（1），点B在线段AD上．
（1）求证：AM=CD；
（2）求证：△BEF为等边三角形．
猜想：如图（2），点B不在线段AD上．
（3）判断（1）、（2）两个结论是否成立．（不要求证明）

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：几何图形问题,证明题

分析：（1）根据等边三角形的性质可以得出△ABM≌△CBD，就可以得出结论；
（2）由平角的定义就可以得出∠EBF=60°，证明△MBE≌△DBF就可以得出BE=BF就可以得出结论；
（3）由等边三角形的性质就可以得出△ABM≌△CBD，就有AM=CD，△BEF为等边三角形不成立．

解答：解：（1）∵△ABC、△DBM都是等边三角形，
∴AB=CB，MB=DB，∠ABC=∠MBD=60°．
∵点B在线段AD上，
∴∠ABD=180°，
∴∠CBM=60°，
∴∠CBM=∠MBD．
∴∠ABC+∠CBM=∠MBD+∠CBM，
∴∠ABM=∠CBD．
在△ABM和△CBD中，

AB=CB ∠ABM=∠CBD MB=DB

，
∴△ABM≌△CBD（SAS），
∴AM=CD．
（2）∵△ABM≌△CBD，
∴∠AMB=∠CDB．
在△MBE和△DBF中，

∠CBM=∠MBD MB=DB ∠AMB=∠CDB

，
∴△MBE≌△DBF（SAS），
∴BE=BF．
∵∠CBM=60°，
∴△BEF为等边三角形；
（3）AM=CD，△BEF不为等边三角形；
∵△ABC、△DBM都是等边三角形，
∴AB=CB，MB=DB，∠ABC=∠MBD=60°．
∴∠ABC+∠CBM=∠MBD+∠CBM，
∴∠ABM=∠CBD．
在△ABM和△CBD中，

AB=CB ∠ABM=∠CBD MB=DB

，
∴△ABM≌△CBD（SAS），
∴AM=CD．
∵∠ABD＜180°，
∴∠CBM＞60°，
∴△BEF不为等边三角形．

点评：本题考查了等边三角形的判定及性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．