Question

已知：△ABC是等边三角形，点E在AB边上运动，EF交AC于G，交BC的延长线于F，且AE=CF．
（1）求证：GE=GF；
（2）当点E运动到AB的中点时，如果AB=a，求CG的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）过点EM∥BC交AC于M，易证△EMG≌△FCG，根据全等三角形对应边相等的性质即可解题；
（2）根据（1）中结论即可求得EG=CG，AM=CM即可解题．

解答：解：（1）过点EM∥BC交AC于M，

∵EM∥BC，∴△AEM是等边三角形，
∴EM=AE=CF，∠MEG=∠F，
在△EMG和△FCG中，

∠EGM=∠CGF ∠MEG=∠F EG=FG

，
∴△EMG≌△FCG（AAS），
∴EG=FG；
（2）根据（1）中△EMG≌△FCG可得GM=CG，
∵EM=AM=AE，
∴CM=

1

2

a，
∴CG=

1

2

CM=

1

4

a．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△EMG≌△FCG是解题的关键．