Question

如图，点I是△ABC的内心，AI的延长线交边BC于点D，交△ABC外接圆于点E．
（1）求证：IE=BE；
（2）若IE=4，AE=8，求DE的长．

Answer 1

分析：（1）连接IB，只需证明∠IBE=∠BIE．根据三角形的外角的性质、三角形的内心是三角形的角平分线的交点以及圆周角定理的推论即可证明；
（2）IE的长，即是BE的长，则可以把要求的线段和已知的线段构造到两个相似三角形中，进行求解．

解答：（1）证明：连接IB．
∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠IBD．
又∵∠BIE=∠BAD+∠ABI=∠CAD+∠IBD=∠IBD+∠DBE=∠IBE，
∴BE=IE．

（2）解：在△BED和△AEB中，
∠EBD=∠CAD=∠BAD，∠BED=∠AEB．
∴△BED∽△AEB，
∴

BE

AE

=

DE

BE

，
∵IE=4，AE=8，
∴BE=4，
即DE=

BE2

AE

=2．

点评：此题要理解三角形的内心即是三角形角平分线的交点，能够熟练运用三角形的外角的性质、圆周角定理的推论以及相似三角形的判定和性质．