Question

同学们在七年级下册学习了作差法比较大小，请根据你学过的知识解答以下三个小题：
（1）已知a＞0，b＞0，比较

x2

a

+

y2

b

与

(x+y)2

a+b

的大小．
（2）已知a＞0，b＞0，式子

x2

a

+

y2

b

与

(x+y)2

a+b

能否相等；若能相等，请注明相等的条件；若不等，请说明理由．
（3）根据（1）、（2）中你的结论，请求出代数式

25

2x

+

18

1-x

（0＜x＜1）的最小值，并指出取最小值时的x值．

Answer 1

考点：不等式的性质

专题：

分析：（1）直接把两个式子作差，根据分式的加减的计算方法，计算整理探讨出结论；
（2）由（1）的结论，判定两个式子相等的条件或不等的条件即可；
（3）把分式通分化简探讨结论即可．

解答：解：（1）

x2

a

+

y2

b

-

(x+y)2

a+b

=

(a+b)bx2+(a+b)ay2-ab(x+y)2

ab(a+b)

=

b2x2-2abxy+a2y2

ab(a+b)

=

(bx-ay)2

ab(a+b)

≥0，
所以

x2

a

+

y2

b

≥

(x+y)2

a+b

；
（2）能相等．
当bx-ay=0，即y=

bx

a

时．
（3）

25

2x

+

18

1-x

≥

(5+3 2 )2

1+x

，
当

25

2x

=

18

1-x

时，
解得x=

25

61

时，取得最小值，最小值为61．

点评：此题考查作差法比较分式的大小，利用类比的方法探讨分式的最值，注意思维的逻辑性．