Question

6．如图，已知P为⊙O外一点，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，AB交OP于点E，弦CD过E点．求证：∠APC=∠BPD．

Answer 1

分析 连结OA、OC、OD，如图，利用切线长定理得PA=PB，∠APO=∠BPO，而OA=OB，可判断PO垂直平分AB，再根据切线的性质得OA⊥PA，加上∠AOE=∠POA，则可判断Rt△OAE∽Rt△OPA，得到OA：OE=OP：OA，即OA²=OE•OP，由于OC=OD=OA，所以OC²=OE•OP，OD²=OE•OP，加上∠COE=∠POC，所以△OCE∽△OPC，根据相似的性质得∠OCD=∠2，同理可得∠ODC=∠1，而∠OCD=∠ODC，则∠1=∠2，从而可得∠APC=∠BPD．

解答 证明：连结OA、OC、OD，如图，
∵PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，
∴PA=PB，
而OA=OB，
∴PO垂直平分AB，
∴∠APO=∠BPO，
∵PA切⊙O于点A，
∴OA⊥PA，
而∠AOE=∠POA，
∴Rt△OAE∽Rt△OPA，
∴OA：OE=OP：OA，
∴OA²=OE•OP，
∵OC=OD=OA，
∴OC²=OE•OP，OD²=OE•OP，
而∠COE=∠POC，
∴△OCE∽△OPC，
∴∠OCD=∠2，
同理得△ODE∽△OPD，
∴∠ODC=∠1，
而OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∴∠1=∠2，
∴∠APO+∠2=∠BPO+∠1，
即∠APC=∠BPD．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了相似三角形的判定与性质．