Question

如图,直线AB分别与两坐标轴交于点A（4,0）.B（0,8）,点C的坐标为（2,0）.

（1）求直线AB的解析式；
（2）在线段AB上有一动点P.
①过点P分别作x,y轴的垂线,垂足分别为点E,F,若矩形OEPF的面积为6,求点P的坐标.
②连结CP,是否存在点P,使与相似,若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.

Answer 1

（1）；（2）①点P（1,6）或（3,2）；②存在,点P的坐标为（2,4）或点P（,）．

试题分析：（1）由于A（4,0）.B（0,8）,利用待定系数法即可求出直线AB的解析式；
（2）①可以设动点P（x,﹣2x+8）,由此得到PE=x,PF=﹣2x+8,再利用矩形OEPF的面积为6即可求出点P的坐标；
②存在,分两种情况：第一种由CP∥OB得△ACP∽△AOB,由此即可求出P的坐标；第二种CP⊥AB,根据已知条件可以证明APC∽△AOB,
然后利用相似三角形的对应边成比例即可求出PA,再过点P作PH⊥x轴,垂足为H,由此得到PH∥OB,进一步得到△APH∽△ABO,然后利用相似三角形的对应边成比例就可以求出点P的坐标．
试题解析：（1）设直线AB的解析式为,依题意
,解得：
∴；
（2）①设动点P （x,）
则,
∴ 
∴, 
经检验,都符合题意
∴点P（1,6）或（3,2）；
②存在,分两种情况
第一种：
∴∽

而点C的坐标为（2,0）
∴点P（2,4 ） 
第二种
∵,
∴∽
∴
∴
∴
如图,过点P作轴,垂足为H

∴
∴∽
∴
∴
∴, 
∴
∴点P（,）
∴点P的坐标为（2,4）或点P（,）．