Question

5．已知，二次函数y=ax²-2ax+b的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且OB=OC=3．
（1）求二次函数的解析式．
（2）设MN是定长为1的动线段，且在该二次函数图象的对称轴上移动，当四边形ACMN的周长最短时，请画出图形（保留作图痕迹），并写出MN点坐标和周长的最小值．

Answer 1

分析 （1）先确定B点和C点坐标，然后把它们代入y=ax²-2ax+b中得到关于a、b的方程组，然后解方程组即可；
（2）先计算出抛物线的对称轴方程和A点坐标，再利用两点之间线段最短作出四边形ACMN的周长最短的图形，如图，则利用待定系数法求出PB的解析式，则可得到N点坐标，同时也可得到M点坐标，然后计算AC和PB的长可得到四边形ACMN的周长最小值．

解答 解：（1）∵OB=OC=3，
∴B（3，0），C（0，3），
把B（3，0），C（0，3）代入y=ax²-2ax+b得$\left\{\begin{array}{l}{9a-6a+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$．
∴二次函数的解析式为y=-x²+2x+3；
（2）如图，抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{2}{2×（-1）}$=1，
则A（-1，0），
在y轴截取CP=MN=1，连结BP交直线x=1于N，连结CM，
∵点A与点B关于直线x=1对称，
∴NA=NB，
∵PC=MN，PC∥MN，
∴四边形MCPN为平行四边形，
∴CM=PN，
∴CM+NA=PN+NB=PB，
∴此时四边形ACMN的周长最短，
设直线PB的解析式为y=kx+q，
把P（0，2），B（3，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{q=2}\\{3k+q=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{2}{3}}\\{q=2}\end{array}\right.$，
∴直线PB的解析式为y=-$\frac{2}{3}$x+2，
当x=1时，y=-$\frac{2}{3}$x+2=$\frac{4}{3}$，则N（1，$\frac{4}{3}$），M（1，$\frac{7}{3}$），
∵AC=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，PB=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴四边形ACMN的周长最小值为$\sqrt{10}$+$\sqrt{13}$+1．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题化为解关于x的一元二次方程．本题的难点是作出四边形ACMN的周长最短的图形．