Question

（2013•武汉模拟）已知等边△ABC，边长为4，点D从点A出发，沿AB运动到点B，到点B停止运动．点E从A出发，沿AC的方向在直线AC上运动．点D的速度为每秒1个单位，点E的速度为每秒2个单位，它们同时出发，同时停止．以点E为圆心，DE长为半径作圆．设E点的运动时间为t秒．
（l）如图l，判断⊙E与AB的位置关系，并证明你的结论；
（2）如图2，当⊙E与BC切于点F时，求t的值；
（3）以点C为圆心，CE长为半径作⊙C，⊙C与射线AC交于点G．当⊙C与⊙E相切时，直接写出t的值为

32±8 3

13

．

Answer 1

分析：（1）首先过点D作DM⊥AC于点M，由△ABC为等边三角形，可得∠A=60°，可得AM=

1

2

t，DM=

3

2

t，继而求得AE与ME的长，则可得在△ADE中，AD²=t²，AE²=4t²，DE²=3t²，证得AD²+DE²=AE²，继而证得AB与⊙D相切；
（2）首先连接BE、EF，由切线长定理可得BE平分∠ABC，然后由等腰三角形的性质，求得AE的长，继而求得答案；
（3）当⊙C与⊙E相切时，DE=EG=2EC，分别从当E在线段AC上时，AC=AE+EC，与当点E在AC的延长线上时，AC=AE-EC，去分析求解即可求得答案．

解答：解：（1）AB与⊙E相切，…（1分）
理由如下：过点D作DM⊥AC于点M，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=60°，
在Rt△ADM中，
∵AD=t，∠A=60°，
∴AM=

1

2

t，DM=

3

2

t，
∵AE=2t，
∴ME=

3

2

t，
在Rt△DME中，DE²=DM²+EM²=3t²，
在△ADE中，∵AD²=t²，AE²=4t²，DE²=3t²，
∴AD²+DE²=AE²，
∴∠ADE=90°，
∴AB与⊙D相切；           …（4分）

（2）连接BE、EF，
∵BD、BF与⊙O相切，
∴BE平分∠ABC，
∵AB=BC，
∴AE=CE，
∵AC=4，
∴AE=2，
∴t=1；                …（8分）

（3）t=

32±8 3

13

；
当⊙C与⊙E相切时，DE=EG=2EC，
∵DE=

3

t，
∴EC=

3

2

t，
有两种情形：
第一，当E在线段AC上时，AC=AE+EC，
∴2t+

3

2

t=4，
∴t=

32-8 3

13

，…（9分）
第二，当点E在AC的延长线上时，AC=AE-EC，
∴2t-

3

2

t=4，
∴t=

32+8 3

13

．（10分）
故答案为：

32±8 3

13

．

点评：此题考查了切线的性质与判定、勾股定理以及逆定理、圆与圆的位置关系以及切线长定理．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．