Question

8．如图，一次函数y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{4}{3}$与x轴交于点A．
（1）求出点A的坐标；
（2）若一次函数y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{4}{3}$与正比例函数y=kx（k≠0）交于点B，且△AOB的面积为2，求k的值；
（3）依据第（2）问，请直接写出正比例函数y=kx（k≠0）大于一次函数y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{4}{3}$时自变量x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把y=0代入y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{4}{3}$，求出x的值，进而得出点A的坐标；
（2）设△AOB中OA边上的高为h，根据△AOB的面积为2，利用面积公式求出h=2，则点B的纵坐标为±2，分别把y=±2代入y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{4}{3}$，求出x的值，得到点B的坐标，再利用待定系数法求出k的值；
（3）正比例函数y=kx（k≠0）的图象落在一次函数y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{4}{3}$上方的部分对应的x的值即为所求．

解答 解：（1）∵y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{4}{3}$与x轴交于点A，
∴y=0时，-$\frac{2}{3}$x+$\frac{4}{3}$=0，解得x=2，
∴点A的坐标是（2，0）；

（2）设△AOB中OA边上的高为h，
∵△AOB的面积为2，OA=2，
∴$\frac{1}{2}$×2h=2，h=2，
∴点B的纵坐标为±2，
把y=2代入y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{4}{3}$，得2=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{4}{3}$，解得x=-1，
把（-1，2）代入y=kx，得k=-2；
把y=-2代入y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{4}{3}$，得-2=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{4}{3}$，解得x=5，
把（5，-2）代入y=kx，得k=-$\frac{2}{5}$．
故所求k的值为-2或-$\frac{2}{5}$；

（3）当k=-2时，正比例函数y=kx（k≠0）大于一次函数y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{4}{3}$时自变量x的取值范围是x＜-1；
当k=-$\frac{2}{5}$时，正比例函数y=kx（k≠0）大于一次函数y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{4}{3}$时自变量x的取值范围是x＞5．

点评 本题考查了两条直线相交或平行问题，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，待定系数法求函数的解析式，以及数形结合思想，难度适中．