Question

13．如图，线段AB=2n，点P是线段AD上的动点（不包括端点），分别以AP．BP为斜边，在线段AB两侧作等腰Rt△ACP和等腰Rt△BDP，则C、D两点之间的距离为$\sqrt{2}$n．（用含n的代数式表示）

Answer 1

分析 作辅助线，构建等腰直角三角形AEB，证明四边形DCEB是矩形，则CD=BE，BE的长就是CD的长．

解答 解：∵△ACP和△BDP是等腰直角三角形，且AP．BP为斜边，
∴∠APC=∠BPD=45°，
∴C、P、D共线，
过B作BE⊥AC，交AC的延长线于E，
∵∠ECD=∠D=∠CEB=90°，
∴四边形DCEB是矩形，
∴CD=BE，
∵∠A=45°，
∴△AEB是等腰直角三角形，
∴BE=$\frac{AB}{\sqrt{2}}$=$\frac{2n}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$n，
故答案为：$\sqrt{2}$n．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质和判定、矩形的性质和判定，作辅助线将DC平移到BE是关键，注意要说明C、P、D共线．