Question

如图，已知△ABC的周长为2p，在AB、AC上分别取点M和N，使MN∥BC，且MN与△ABC的内切圆相切．
求：MN的最值．

Answer 1

分析：设BC=a，BC边上的高为h，内切圆半径为r．则S_△ABC=rp，从而得出MN是p的二次函数，再求最值．

解答：解：设BC=a，BC边上的高为h，
内切圆半径为r．
∵△AMN∽△ABC，

MN

BC

=

h-2r

h

，
MN=a（1-

2r

h

），
由S_△ABC=

1

2

ar+

1

2

br+

1

2

cr=

1

2

（a+b+c）r=

1

2

•2pr=rp，
∴r=

S△ABC

p

=

ah

2p

，
∴MN=a（1-

a

p

）=p•

a

p

（1-

a

p

）≤p[

a p +(1- a p )

2

]2=

p

4

，
当且仅当

a

p

=1-

a

p

，
即a=

p

2

时，取等号，
∴MN的最大值为

p

4

．

点评：本题是一道综合题，考查了三角形的内切圆、二次函数的最值和相似三角形的判定和性质．