Question

2．在长方形ABCD中，点E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到对应的△GBE，将BG延长交直线DC于点F．
（1）如果点G在长方形ABCD的内部，如图①所示．
Ⅰ）求证：GF=DF；
Ⅱ）若DF=$\frac{1}{2}$DC，AD=4，求AB的长度．
（2）如果点G在长方形ABCD的外部，如图②所示，DF=kDC（k＞1）．请用含k的代数式表示$\frac{AD}{AB}$的值
．

Answer 1

分析 （1）、Ⅰ）、求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，即连接EF，证△EGF≌△EDF即可；
Ⅱ）、可设DF=x，BC=y；进而可用x表示出DC、AB的长，根据折叠的性质知AB=BG，即可得到BG的表达式，由（1）证得GF=DF，那么GF=x，由此可求出BF的表达式，进而可在Rt△BFC中，根据勾股定理求出x、y的比例关系，即可得到$\frac{AD}{AB}$的值，代值即可得出结论；
（2）方法同（2）．

解答 解：（1）、
Ⅰ）、连接EF，
根据翻折的性质得，∠EGF=∠D=90°，
EG=AE=ED，EF=EF，
在Rt△EGF和Rt△EDF中，$\left\{\begin{array}{l}{EG=ED}\\{EF=EF}\end{array}\right.$，
∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL），
∴GF=DF；

Ⅱ）由（1）知，GF=DF，设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y
∵DC=2DF，
∴CF=x，DC=AB=BG=2x，
∴BF=BG+GF=3x；
在Rt△BCF中，BC²+CF²=BF²，即y²+x²=（3x）²
∴y=2$\sqrt{2}$x，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{y}{2x}$=$\sqrt{2}$；
∵AD=4，
∴AB=2$\sqrt{2}$
（3）由（1）知，GF=DF，设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y
∵DC=k•DF，
∴BF=BG+GF=（k+1）x
在Rt△BCF中，BC²+CF²=BF²，
即y²+[（k-1）x]²=[（k+1）x]²
∴y=2x$\sqrt{k}$，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{y}{kx}$=$\frac{2\sqrt{k}}{k}$．

点评 此题是折叠问题，主要考查了矩形的性质、图形的折叠变换、全等三角形的判定和性质、勾股定理的应用等重要知识，难度适中．用勾股定理表示出y是解本题的关键．