Question

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于点D，DE⊥AC于点E，BE交⊙O于点F，连接AF，AF的延长线交DE于点P．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求tan∠ABE的值；
（3）若OA=2，求线段AP的长．

Answer 1

（1）证明：连结AD、OD，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵AB=AC，
∴AD垂直平分BC，即DC=DB，
∴OD为△BAC的中位线，
∴OD∥AC，
而DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；

（2）解：∵OD⊥DE，DE⊥AC，
∴四边形OAED为矩形，
而OD=OA，
∴四边形OAED为正方形，
∴AE=AO，
∴tan∠ABE==；

（3）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB=90°，
∴∠ABF+∠FAB=90°，
而∠EAP+∠FAB=90°，
∴∠EAP=∠ABF，
∴tan∠EAP=tan∠ABE=，
在Rt△EAP中，AE=2，
∵tan∠EAP==，
∴EP=1，
∴AP==．
分析：（1）连结AD、OD，根据圆周角定理得∠ADB=90°，由AB=AC，根据等腰三角形的直线得DC=DB，所以OD为△BAC的中位线，则OD∥AC，然后利用DE⊥AC得到OD⊥DE，
这样根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）易得四边形OAED为正方形，然后根据正切的定义计算tan∠ABE的值；
（3）由AB是⊙O的直径得∠AFB=90°，再根据等角的余角相等得∠EAP=∠ABF，则tan∠EAP=tan∠ABE=，在Rt△EAP中，利用正切的定义可计算出EP，然后利用勾股定理可计算出AP．
点评：本题考查了圆的切线的判定：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了圆周角定理和解直角三角形．