Question

如图，抛物线y=-x²+bx+c经过点A（1，0）和B（0，5），抛物线与坐标轴的另一交点为C，
（1）求此抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）如果点M是线段BC的动点，且⊙M与x轴、y轴都相切，切点分别是点E、F，试求出点M的坐标．
（3）在直线CB上是否存在一点P，使四边形PDCO为梯形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）根据题意，得，
∴抛物线的解析式为y=-x²-4x+5，
由顶点D的坐标为（-2，9）；

（2）由抛物线的解析式为y=-x²-4x+5，
可得C点的坐标为（-5，0），
∵B点的坐标为（0，5），
∴直线CB的解析式为y=x+5
因为⊙M与x轴、y轴都相切，所以点M到x轴、y轴的距离都相等．
设M（a，-a）（-5＜a＜0），
得-a=a+5，
得a=-2.5．
所以点M的坐标为（-2.5，2.5）；

（3）（i）当OP∥CD，且OP≠CD时，四边形PDCO为梯形．
∵直线CD的解析式为y=3x+15，OP∥CD，
∴直线OP的解析式为y=3x．
根据题意，得，
得，
∴点P．
∵OP=，CD=3，
∴OP≠CD，
∴点P（，）即为所求，
∴点P（4，9）即为所求；
（ii）当DP∥CO，且DP≠CO时，四边形PDCO为梯形，
根据题意，
解得：，
∴点P（4，9），
∵OC=5，DP=6，
∴OC≠DP，
综上所述，为所求的．
分析：（1）本题需先根据题意列出方程组，解出b、c的值，即可求出解析式．
（2）本题由（1）得出的解析式，得出C点的坐标，再求出CB的解析式，根据已知得出点M到x轴、y轴的距离都相等，再设出M的坐标，即可求出答案．
（3）本题需先根据已知条件，分两种情况进行讨论，得出OP的解析式来，解出P点的坐标，即可证出所求的结果．
点评：本题主要考查了二次函数综合应用，在解题时要注意解析式的确定、梯形的性质等重要知识点，（3）小题中，都用到了分类讨论的数学思想，难点在于考虑问题要全面，做到不重不漏．