Question

如图，∠BAD=∠CAE=90o，AB=AD，AE=AC，AF⊥CF，垂足为F．

（1）若AC=10，求四边形ABCD的面积；

（2）求证：AC平分∠ECF；

（3）求证：CE=2AF ．

Answer 1

（1）50；（2）（3）见解析．

【解析】

试题分析：（1）根据∠BAD=∠CAE得出∠BAC=∠EAD，根据AB=AD，AC=AE得出△ABC和△ADE全等，将四边形ABCD的面积转化成△ACE的面积进行计算；（2）根据等腰直角三角形的性质得出∠ACE=∠E=45°，根据全等得出∠ACF=∠E=45°，从而说明角平分线；（3）过点A作AG⊥CE，根据角平分线的性质得到AF=AG，根据等腰直角三角形斜边上的高的性质得出CE=2AG，则可以说明CE=2AF．

试题解析：（1）∵∠BAD=∠CAE=90o，∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD ∴∠BAC=∠EAD

又∵AB=AD，AC=AE ∴△ABC≌△ADE（SAS）

∵ ∴=+==×=50．

（2）证明：∵△ACE是等腰直角三角形，∴∠ACE=∠AEC=45°，

由△ABC≌△ADE得：∠ACB=∠AEC=45°， ∴∠ACB=∠ACE， ∴AC平分∠ECF．

（3）证明：过点A作AG⊥CD，垂足为点G． ∵AC平分∠ECF，AF⊥CB， ∴AF=AG，

又∵AC=AE， ∴∠CAG=∠EAG=45o， ∴∠CAG=∠EAG=∠ACE=∠AEC=45o，

∴CG=AG=GE， ∴CE=2AG， ∴CE=2AF．

考点：三角形全等的性质与判定，角平分线的性质、等腰直角三角形的性质．

考点分析： 考点1：三角形 （1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
组成三角形的线段叫做三角形的边．
相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．
相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．
（2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．
（3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高．
（4）三角形具有稳定性． 试题属性

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