Question

10．求证：顺次连接菱形四边中点所得的四边形是矩形．

Answer 1

分析 先写出已知和求证，如图，再进行证明，连结AC、BD，先证明EH为△ABD的中位线，则根据三角形中位线性质得到EH∥BD，同理可得FG∥BD，EF∥AC，HG∥AC，于是可判断四边形EFGH为平行四边形，接着根据菱形的性质得到AC⊥BD，则可得到EF⊥EH，然后根据矩形的判定方法得到四边形EFGH为矩形．

解答 已知：点E、F、G、H为菱形ABCD各边的中点，如图，
求证：四边形EFGH为矩形．
证明：连结AC、BD，如图，
∵点E为AB的中点，H为AD的中点，
∴EH为△ABD的中位线，
∴EH∥BD，
同理可得FG∥BD，EF∥AC，HG∥AC，
∴EH∥FG，EF∥HG，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
而EH∥BD，EF∥AC，
∴EF⊥EH，
∴∠HEF=90°，
∴四边形EFGH为矩形．

点评 本题考查了中点四边形：利用三角形的中位线性质解决有关中点四边形的问题．也考查了菱形的性质和矩形的判定．