Question

如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点D是BC上一定点．动点P从C出发，以2cm/s的速度沿C→A→B方向运动，动点Q从D出发，以1cm/s的速度沿D→B方向运动．点P出发5s后，点Q才开始出发，且当一个点达到B时，另一个点随之停止．图2是当0≤t≤5时△BPQ的面积S（cm²）与点P的运动时间t（s）的函数图象．

（1）CD=

 

，a=

 

；
（2）当点P在边AB上时，为何值时，使得△BPQ与△ABC为相似？
（3）运动过程中，求出当△BPQ是以BP为腰的等腰三角形时t的值．

Answer 1

考点：相似形综合题,动点问题的函数图象,勾股定理的应用

专题：综合题

分析：（1）根据函数图象得到当点P运动到点A时，△BPQ的面积为18，利用三角形面积公式可计算出BD=6，则CD=2，当t=5s时，AP=4，点Q在D点，作PH⊥BC于H，在Rt△ABC中根据勾股定理计算出AB=10，再证明△BPH∽△BAC，利用相似比计算出PH，然后根据三角形面积公式得到S_△PBQ，即a=S_△PBQ；
（2）分类讨论：当3＜t≤5，点Q在D点，BP=16-2t，若PD⊥BC得到△BPQ∽△BAC，利用相似比得t值；当5＜t≤8，DQ=t-5，BQ=11-t，BP=16-2t，当∠PQB=90°时，△BPQ∽△BAC，利用相似比得t值；当∠BPQ=90°时，△BPQ∽△BAC，利用相似比得t值；
（3）PB=16-2t，BQ=11-t，分类讨论：当BP=BQ，则16-2t=11-t，解方程得t=5；当PB=PQ，作PM⊥BC于M，根据等腰三角形的性质得则BM=

1

2

BQ=

1

2

（11-t），再证明△BPM∽△BAC，利用相似比得t值．

解答：解：（1）当点P运动到点A时，△BPQ的面积为18，
∴

1

2

•6•BD=18，解得BD=6，
∴CD=BC-BD=2，
当t=5s时，AP=2×5-6=4，点Q在D点，点P在AB上如图①，作PH⊥BC于H，
在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，
∴AB=

AC2+BC2

=10，
∵PH∥AC，
∴△BPH∽△BAC，
∴

PH

AC

=

BP

BA

，即

PH

6

=

10-4

10

，解得PH=

18

5

，
∴S_△PBQ=

1

2

×6×

18

5

=

54

5

，
即a=

54

5

；
故答案为：2，

54

5

；

（2）点P在边AB上，
当3＜t≤5，点Q在D点，BP=16-2t，
若PD⊥BC，△BPQ∽△BAC，
∴

BP

BA

=

BD

BC

，即

16-2t

10

=

6

8

，解得t=

17

4

；
当5＜t≤8，DQ=t-5，则BQ=8-2-（t-5）=11-t，BP=16-2t，
当∠PQB=90°时，△BPQ∽△BAC，如图②，
∵△BPQ∽△BAC，
∴

BP

BA

=

BQ

BC

，即

16-2t

10

=

11-t

8

，解得t=3，不合题意舍去；
当∠BPQ=90°时，△BPQ∽△BAC，如图③，
∵△BPQ∽△BCA，
∴

BP

BC

=

BQ

BA

，即

16-2t

8

=

11-t

10

，解得t=6，
综上所述，当t为

17

4

或6时，△BPQ与△ABC为相似；

（3）PB=16-2t，BQ=11-t，
当BP=BQ，则16-2t=11-t，解得t=5；
当PB=PQ，作PM⊥BC于M，如图④，则BM=

1

2

BQ=

1

2

（11-t），
∵PM∥AC，
∴△BPM∽△BAC，
∴

BP

BA

=

BM

BC

，即

16-2t

10

=

1 2 (11-t)

8

，解得t=

73

11

，
综上所述，当△BPQ是以BP为腰的等腰三角形时t的值为5或

73

11

．

点评：本题考查了相似的综合题：熟练掌握相似三角形的判定与性质；会从函数图象中获取信息；会根据勾股定理和相似比进行几何计算；提高运用分类讨论的思想解决数学问题的能力．