Question

6．已知边长为4的等边△ABC，E，F分别是AB、BC的中点，将△BEF绕点B顺时针旋转α°，AE与CF交于P．当α=60°时，点P运动的路径长是（　　）

• A． $\frac{1}{6}$π
• B． $\frac{4}{3}$π
• C． $\frac{2\sqrt{3}}{9}$π
• D． $\frac{4\sqrt{3}}{9}$π

Answer 1

分析 如图，作△ABC的外接圆⊙O，OM⊥BC于M交⊙O于N，连接OB，PB．由△ABE≌△CBF，推出∠BAE=∠BCP，推出A、B、P、C四点共圆，因为∠BPC+∠BAC=180°，所以∠BPC=120°，所以点P的运动轨迹是$\widehat{BN}$，利用弧长公式计算即可．

解答 解：如图，作△ABC的外接圆⊙O，OM⊥BC于M交⊙O于N，连接OB，PB．

∵△ABC和△EBF是等边三角形，
∴AB=BC，BE=BF，∠ABC=∠BAC=∠EBF=60°，
∴∠ABE=∠CBF，
在△ABE和△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABE=∠CBF}\\{BE=BF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBF，
∴∠BAE=∠BCP，
∴A、B、P、C四点共圆，
∴∠BPC+∠BAC=180°，
∴∠BPC=120°，
∴点P的运动轨迹是$\widehat{BN}$，
∵等边三角形的边长为4，
∴OB=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
$\widehat{BN}$的长=$\frac{60°•π•\frac{4\sqrt{3}}{3}}{180°}$=$\frac{4\sqrt{3}}{9}$π，
故选D．

点评 本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、四点共圆、弧长公式、旋转变换、轨迹等知识，解题的关键是正确寻找点P的运动轨迹，题目比较难，所以中考选择题中的压轴题．