Question

15．已知关于x的方程x²-（m+2）x+（2m-1）=0．
①求证：方程必有两个不相等的实数根；
②若此方程的一个根是3，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长．

Answer 1

分析 （1）根据关于x的方程x²-（m+2）x+（2m-1）=0的根的判别式的符号来证明结论；
（2）根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根．分类讨论：①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为$\sqrt{10}$；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为2$\sqrt{2}$；再根据三角形的周长公式进行计算．

解答 ①证明：∵关于x的方程x²-（m+2）x+（2m-1）=0，
∴△=（m+2）²-4（2m-1）=m²-4m+8=（m-2）²+4，
∵（m-2）²+4＞0恒成立，
∴△＞0，
∴方程必有两个不相等的实数根；
②解：∵关于x的方程x²-（m+2）x+（2m-1）=0的一个根是3，
∴把x=3代入原方程得：9-3（m+2）+（2m-1）=0，
∴解得m=2，
∴原方程为：x²-4x+3=0，
∴原方程的两个根分别为3，1，
又∵3和1是直角三角形的边，
∴当1为直角三角形的斜边长时，构不成直角三角形，
∴当3为直角三角形的斜边长时，即a²+1=9，
∴a=2$\sqrt{2}$，
所以三角形的周长为：1+3+2$\sqrt{2}$=4+2$\sqrt{2}$，
∴当1和3都为直角三角形的直角边时，有c²=1+9=10，
∴c=$\sqrt{10}$，
所以三角形的周长为：1+3+$\sqrt{10}$=4+$\sqrt{10}$，
∴综上可知，以1和3为边长的直角三角形的周长为：4+$\sqrt{10}$或4+2$\sqrt{2}$．

点评 本题综合考查了勾股定理、根的判别式、一元二次方程解的定义，解答本题的关键是利用因式分解法求出方程的两根，解答（2）时，采用了“分类讨论”的数学思想．