Question

12．已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与y轴交于点（0，3），且经过点A（1，-8）和B（5，8）
（Ⅰ）求二次函数的解析式，并写出其图象的顶点坐标；
（Ⅱ）当1≤x≤4时，求二次函数的函数值y的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把点（0，3），（1，-8），（5，8）分别代入y=ax²+bx+c，得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组得出解析式，再配成顶点式即可得到顶点坐标；
（2）根据二次函数的性质结合自变量的取值范围即可求解．

解答 解：（1）∵二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与y轴交于点（0，3），且经过点A（1，-8）和B（5，8），
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{a+b+c=-8}\\{25a+5b+c=8}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{b=-14}\\{c=3}\end{array}\right.$．
所以此二次函数的解析式为y=3x²-14x+3，
y=3x²-14x+3=3（x-$\frac{7}{3}$）²-$\frac{40}{3}$，
所以此二次函数图象的顶点坐标为（$\frac{7}{3}$，-$\frac{40}{3}$）；

（2）∵y=3（x-$\frac{7}{3}$）²-$\frac{40}{3}$，
∴当x=$\frac{7}{3}$时，y有最小值-$\frac{40}{3}$；
当x=4时，y=3（4-$\frac{7}{3}$）²-$\frac{40}{3}$=-5，
∴当1≤x≤4时，二次函数的函数值y的取值范围是-$\frac{40}{3}$≤y≤-5．

点评 本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．