Question

9．问题探究：
直线y=x与直线y=-2x+6交于点A，则A点坐标为（2，2）．
P为平面直角坐标系中的一点，以A、B（3，1）、P、O为顶点的四边形是平行四边形，则P点坐标为（5，3）或（-1，1）或（1，-1）．
问题应用：
如图，已知抛物线y=x²-2x+m（m＜0）顶点为P，与y轴相交于点B，直线y=$\frac{1}{2}$x-m分别与x轴、y轴相交于A、C两点，并且与直线PB相交于点N．
（1）求PN的解析式；
（2）在抛物线y=x²-2x+m（m＜0）上是否存在点K，使得以K、B、N、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出K点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 问题探究：解方程组可得点A坐标，根据A、B、O三点坐标，利用平行四边形的性质可得点P坐标．
（1）先求出P、B两点坐标，利用待定系数法即可解决问题．
（2）分两种情形讨论①当点P在y轴的左侧时，若四边形BCPN是平行四边形，则PN平行且等于BC，②当点P在y轴的右侧时，若四边形BPCN是平行四边形，则BC与PN互相平分，由直线PN和y=$\frac{1}{2}$x-a联立方程组，$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+a}\\{y=\frac{1}{2}x-a}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{3}a}\\{y=-\frac{1}{3}a}\end{array}\right.$，即可求出N的坐标为（$\frac{4}{3}$a，-$\frac{1}{3}$a），根据平行四边形的性质分别列出方程即可解决问题．

解答 问题探究：
解：由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-2x+6}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴点A坐标（2，2）．
如图1中，

∵A（2，2），B（3，1），O（0，0），以A、B、P、O为顶点的四边形是平行四边形，
由图象可知，点P的坐标为（5，3）或（-1，1）或（1，-1）．
故答案分别为（2，2）；（5，3）或（-1，1）或（1，-1）．

（1）解：∵y=x²-2x+m=（x-1）²-1+m，
∴顶点P的坐标为；（1，m-1），
由于抛物线过B点，因此B的坐标是（0，m）．
设直线PN的解析式为y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{b=m}\\{k+b=m-1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=m}\end{array}\right.$，
则直线BN的解析式为：y=-x+m．

（2）存在，理由如下：

直线PN和y=$\frac{1}{2}$x-a联立方程组，
$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+a}\\{y=\frac{1}{2}x-a}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{3}a}\\{y=-\frac{1}{3}a}\end{array}\right.$，
即可求出N的坐标为（$\frac{4}{3}$a，-$\frac{1}{3}$a），
当点P在y轴的左侧时，若四边形BCPN是平行四边形，则PN平行且等于BC，
由B（0，m），C（0，-m），得AC=-2m，
则把N向上平移-2m个单位得到P，坐标为（ $\frac{4}{3}$m，-$\frac{7}{3}$m），代入抛物线的解析式，
得：-$\frac{7}{3}$m=$\frac{16}{9}$m²-$\frac{8}{3}$m+m，
解得m₁=0（不舍题意，舍去），m₂=-$\frac{3}{8}$，
则P（-$\frac{1}{2}$，$\frac{7}{8}$）；
当点P在y轴的右侧时，若四边形BPCN是平行四边形，则BC与PN互相平分，
由B（0，m），C（0，-m），则OB=OC，OP=ON．
则P与N关于原点对称，
则P（-$\frac{4}{3}$m，$\frac{1}{3}$m）；
将P点坐标代入抛物线解析式得：$\frac{1}{3}$m=$\frac{16}{9}$m²+$\frac{8}{3}$m+m，
解得m₁=0（不合题意，舍去），m₂=-$\frac{15}{8}$，
则P（ $\frac{5}{2}$，-$\frac{5}{8}$）．
故存在这样的点P₁（-$\frac{1}{2}$，$\frac{7}{8}$）或P₂（ $\frac{5}{2}$，-$\frac{5}{8}$），能使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用平行四边形的性质解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．