Question

设m为整数，且关于x的方程mx²+2（m-5）x+m-4=0有整数根，则m的值为     ．

Answer 1

【答案】分析：分两种情况进行讨论：①一元一次方程时，m=0，方程无整数解；②一元二次方程时，△≥0，且根为整数，求出m的值即可．
解答：解：∵关于x的方程mx²+2（m-5）x+m-4=0有整数根，
∴△=4（m-5）²-4m（m-4）≥0，
∴m≤，
∵-与为整数，
∴m=±1，±2．
（1）若m=0，方程为-10x-4=0，x=根不是整数；
（2）m≠0时，方程有根，那么△≥0，即△=4（m-5）²-4m（m-4）=100-24m=4（25-6m）≥0，
∴m≤，
方程的根为x==
∵方程有整根，
∴25-6m一定是个平方数，而且满足m≤，
∴设25-6m=k²（k＞0且k为整数），则m==
∴方程根为-1±=-1，
将m=代入得，-1，
∴方程两个根可以写成x₁=-1，x₂=-1，
若x₁是整数，
∴只有当k=2，3，4，6，7，8，11时，
为整数．其对应的m分别为，，，-4，，-16，
若x₂是整数，则只有当k=1时，为整数，
对应的m=4．其中m是整数的只有m=-4，4，-16．
∴m的值为-4，4，-16．
点评：本题考查了方程的特殊解，此题难度较大．