Question

设m为整数，且关于x的方程mx²+2（m-5）x+m-4=0有整数根，则m的值为 ______．

Answer 1

∵关于x的方程mx²+2（m-5）x+m-4=0有整数根，
∴△=4（m-5）²-4m（m-4）≥0，
∴m≤

25

6

，
∵-

2(m-5)

m

与

m-4

m

为整数，
∴m=±1，±2．
（1）若m=0，方程为-10x-4=0，x=

2

5

根不是整数；
（2）m≠0时，方程有根，那么△≥0，即△=4（m-5）²-4m（m-4）=100-24m=4（25-6m）≥0，
∴m≤

25

6

，
方程的根为x=

-2(m-5)± 4(m-5)2-4m(m-4)

2m

=

5-m± 25-6m

m

∵方程有整根，
∴25-6m一定是个平方数，而且满足m≤

25

6

，
∴设25-6m=k²（k＞0且k为整数），则m=

25-k2

6

=

(5-k)(5+k)

6

∴方程根为

5

m

-1±

k

m

=

5±k

m

-1，
将m=

25-k2

6

代入得，

6(5±k)

(5-k)(5+k)

-1，
∴方程两个根可以写成x₁=

6

5-k

-1，x₂=

6

5+k

-1，
若x₁是整数，
∴只有当k=2，3，4，6，7，8，11时，

6

5-k

为整数．其对应的m分别为

21

6

，

16

6

，

6

9

，-4，

39

6

，-16，
若x₂是整数，则只有当k=1时，

6

5+k

为整数，
对应的m=4．其中m是整数的只有m=-4，4，-16．
∴m的值为-4，4，-16．