Question

4．如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，点F是DA延长线上的一点，AC平分∠FAB交⊙O于点C．过点C作CE⊥DF，垂足为E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若AE=2，CE=4，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）证明：连接CO，证得∠OCA=∠CAE，由平行线的判定得到OC∥FD，再证得OC⊥CE，即可证得结论；
（2）证明：连接BC，由圆周角定理得到∠BCA=90°，再证得△ABC∽△ACE，根据相似三角形的性质即可证得结论．

解答 （1）证明：连接CO，如图1所示：
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∵AC平分∠FAB，
∴∠OCA=∠CAE，
∴OC∥FD，
∵CE⊥DF，
∴OC⊥CE，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：连接BC，如图2所示：
在Rt△ACE中，AC=$\sqrt{A{E}^{2}+E{C}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BCA=90°，
∴∠BCA=∠CEA，
∵∠CAE=∠CAB，
∴△ABC∽△ACE，
∴$\frac{CA}{AB}=\frac{AE}{AC}$，
即$\frac{2\sqrt{5}}{AB}=\frac{2}{2\sqrt{5}}$，
∴AB=10，
∴AO=5，即⊙O的半径为5．

点评 本题主要考查了圆周角定理，切线的判定，平行线的性质和判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定定理是解决问题的关键．