Question

14．已知，如图，等腰直角△ABC与等腰直角△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连结AF，M时AF的中点，连结MB，且点C，B，E在同一直线上．求证：BM∥CF．

Answer 1

分析 证法一：延长AB交CF于点D，然后可得到△ACD为等腰直角三角形，故此可知B为AD的中点，最后依据三角形的中位线的性质进行证明即可．
证法二：延长BM交EF于D，根据在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行可得AB∥EF，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAM=∠DFM，根据中点定义可得AM=MF，然后利用“角边角”证明△ABM和△FDM全等，再根据全等三角形对应边相等可得AB=DF，然后求出BE=DE，从而得到△BDE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出∠EBM=45°，从而得到∠EBM=∠ECF，再根据同位角相等，两直线平行证明MB∥CF即可．

解答 证明法一：延长AB交CF于点D．

∵△ABC等腰直角三角形，
∴△BCD均为等腰直角三角形．
∴AB=BC=BD，
∴点B为线段AD的中点，
又∵点M为线段AF的中点，
∴BM为△ADF的中位线，
∴BM∥CF．
证明方法二：如图2：延长BM交EF于D．

∵∠ABC=∠CEF=90°，
∴AB⊥CE，EF⊥CE，
∴AB∥EF，
∴∠BAM=∠DFM，
∵M是AF的中点，
∴AM=MF，
在△ABM和△FDM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAM=∠DFM}\\{AM=FM}\\{∠AMB=∠FMD}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△FDM（ASA），
∴AB=DF，
∵BE=CE-BC，DE=EF-DF，
∴BE=DE，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴∠EBM=45°，
∵在等腰直角△CEF中，∠ECF=45°，
∴∠EBM=∠ECF，
∴MB∥CF．

点评 本题主要考查的是全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质，等腰直角三角形的性质和判定，作辅助线构造出中位线、全等三角形和等腰直角三角形是解题的关键．