Question

如图，等边三角形△ABC中，D在AC上，延长BC至E，使CE=AD，DF⊥BC于F．
（1）如图1，若D是AC的中点，求证：①DB=DE；②BF=EF；
（2）如图2，若点D是边AC上的任意一点，BF=EF是否仍然成立？请证明你的结论；
（3）如图3，若点D是边AC的延长线上任意一点，其它条件不变，（2）中结论是否仍然成立？画图并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）根据等边三角形的性质得∠ABC=∠ACB=60°，由CD=CE得∠E=∠CDE，再利用∠DCB=∠E+∠CDE=60°得到∠E=30゜，由DA=DC，根据等腰三角形性质得∠DAC=

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∠ABC=30°，根据等腰三角形的判定得DB=DE；然后根据等腰三角形的性质由DF⊥BC得到BF=EF；
（2）作DM∥BC交AB于M，根据等边三角形的性质得∠A=∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC，则∠DCE=120°，由DM∥BC得∠AMD=60°，易得△AMD为等边三角形，则AD=DM=AM，而AD=CE，则DM=EC，所以MB=DC，利用“SAS”可判断△BMD≌△DCE，则BD=DE，然后根据等腰三角形的性质由DF⊥BC得到BF=EF；
（3）作DM∥BC交AB的延长线于M，易证△AMD为等边三角形，则AM=AD=MD，∠M=60°，可得到BM=CD，而AD=CE，所以MD=CE，加上∠M=∠ECD=60°，
于是可根据“SAS”判断△BMD≌△DCE，则BD=DE，然后根据等腰三角形的性质由DF⊥BC得到BF=EF．

解答：（1）证明：如图1，
①∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵CD=CE，
∴∠E=∠CDE，
而∠DCB=∠E+∠CDE=60°，
∴∠E=30゜，
∵DA=DC，
∴∠DAC=

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∠ABC=30°，
∴DB=DE；
②∵DF⊥BC，
∴BF=EF；

2）BF=EF仍然成立．理由如下：
作DM∥BC交AB于M，如图2，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC，
∴∠DCE=120°，
∵DM∥BC，
∴∠AMD=60°，
∴∠BMD=120°，△AMD为等边三角形，
∴AD=DM=AM，
∵AD=CE，
∴DM=EC，
∴AB-AM=AC-AD，
∴MB=DC，
∴△BMD≌△DCE（SAS），
∴BD=DE，
而DF⊥BC，
∴BF=EF；
（3）（2）中的结论仍然成立．理由如下：
如图3，作DM∥BC交AB的延长线于M，
易证△AMD为等边三角形，
∴AM=AD=MD，∠M=60°，
而AB=AC，
∴BM=CD，
∵AD=CE，
∴MD=CE，
∵∠ECD=∠ACB=60°，
∴∠M=∠ECD，
∴△BMD≌△DCE（SAS），
∴BD=DE，
而DF⊥BC，
BF=EF．

点评：本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．也考查了等腰三角形的性质以及三角形全等的判定与性质．