Question

如图1是由两块全等的含30°角的直角三角板摆放而成，斜边AC=10．
（1）若将△ADE沿直线AE翻折到如图2的位置，ED'与BC交于点F，求证：CF=EF；
（2）求EF的长；
（3）将图2中的△AD'E沿直线AE向右平移到图3的位置，使D'点落在BC上，求出平移的距离．

Answer 1

分析：（1）根据全等三角形对应边相等，AC=AE，再根据翻折的对称性，AD=AD′，所以CD′=AB，然后证明△CD′F与△EBF全等，根据全等三角形的对应边相等即可证明；
（2）先根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，BF=

1

2

EF，然后在Rt△BEF中利用勾股定理列式求解即可；
（3）根据平移对应点的连线互相平行，D′D″∥AB，又点D′是AC的中点，所以D′D″是△ABC的中位线，然后再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半以及三角形中位线定理即可求出平移的距离．

解答：（1）证明：∵△ABC≌△ADE，
∴AC=AE，AB=AD，
根据翻折对称性，AD′=AD，
∴AD′=AB，
∴AC-AD′=AE-AB，
即CD′=BE，
在△CD′F与△EBF中，

∠CD′F=∠EBF ∠CFD′=∠RFB CD′=BE

，
∴△CD′F≌△EBF（AAS），
∴CF=EF（全等三角形对应边相等）；

（2）解：∵∠C=30°，AC=10，
∴AB=

1

2

AC=

1

2

×10=5，
∴EB=10-AB=5，
在△EFB中，∠FEB=30°，
∴BF=

1

2

EF，
根据勾股定理得EF²=BF²+EB²，
∴EF²=（

1

2

EF）²+5²，
解得EF=

10 3

3

；

（3）解：根据平移，D′D″∥AB，
又∵AD′=AB=5，CD′=10-AD′=5，
∴D′D″是△ABC的中位线，
∵∠C=30°，AC=10，
∴D′D″=

1

2

AB=

1

2

×

1

2

AC=

1

2

×

1

2

×10=

5

2

，
故平移距离

5

2

．

点评：本题主要考查了折叠问题，全等三角形的判定与性质，也考查了勾股定理，三角形的中位线定理，它们的综合性比较强，对于学生的综合能力要求比较高，平时加强训练．