Question

如图，△ABP与△CDP是两个全等的等边三角形，且PA⊥PD．有下列四个结论：
（1）∠PBC=15°；（2）AD∥BC；（3）直线PC与AB垂直；（4）四边形ABCD是轴对称图形．
其中正确结论个数是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：（1）先求出∠BPC的度数是360°-60°×2-90°=150°，再根据对称性得到△BPC为等腰三角形，∠PBC即可求出；
（2）根据题意：有△APD是等腰直角三角形；△PBC是等腰三角形；结合轴对称图形的定义与判定，可得四边形ABCD是轴对称图形，进而可得②③④正确．

解答：解：∵△ABP≌△CDP，
∴AB=CD，AP=DP，BP=CP．
又∵△ABP与△CDP是两个等边三角形，
∴∠PAB=∠PBA=∠APB=60°．
①根据题意，∠BPC=360°-60°×2-90°=150°
∵BP=PC，
∴∠PBC=（180°-150°）÷2=15°，
故本选项正确；

②∵∠ABC=60°+15°=75°，
∵AP=DP，
∴∠DAP=45°，
∵∠BAP=60°，
∴∠BAD=∠BAP+∠DAP=60°+45°=105°，
∴∠BAD+∠ABC=105°+75°=180°，
∴AD∥BC；
故本选项正确；

③延长CP交于AB于点O．
∠APO=180°-（∠APD+∠CPD）=180°-（90°+60°）=180°-150°=30°，
∵∠PAB=60°，
∴∠AOP=30°+60°=90°，
故本选项正确；

④根据题意可得四边形ABCD是轴对称图形，
故本选项正确．
综上所述，以上四个命题都正确．
故选D．

点评：本题考查轴对称图形的定义与判定，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴．