Question

16．操作：已知△ABC，对△ABC进行如下变换：
如图1，请画出对△ABC关于直线AC对称的△ADC（不要求尺规作图，不要求写画法，保留画图痕迹）
如图2，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在AB上，得到△AEF．
发现：当△ABC的边满足条件AB=BC时，AD∥BC；
           当△ABC的边满足条件AB=BC时，EF∥AC；
应用：如图3，在锐角△GHK中，∠K＜60°，GK=KH，将△GHK按上述操作，得到△GHM和△GPN，延长NP交KH于点Q，延长MG交NP于点R，判断四边形GHQR的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 操作：由轴对称的定义画出图形即可；
发现：由对称的性质得：△ADC≌△ABC，得出∠DAC=∠BAC，由等腰三角形的性质得出∠BAC=∠BCA，得出∠DAC=∠BCA，即可得出结论；
由旋转的性质得：△AEF≌△ABC，得出∠EFA=∠BCA，由等腰三角形的性质得出∠BAC=∠BCA，得出∠EFA=∠BAC，即可得出结论；
应用：由操作、发现可知：MG∥KH，RQ∥GH，得出四边形GHQR是平行四边形，由平行四边形的性质得出∠PRG=∠GHK，由平行线的性质得出∠RPG=∠KGH，由等腰三角形的性质得出∠KGH=∠KHG，得出∠PRG=∠RPG，证出RG=PG，由旋转的性质得出PG=GH，证出RG=GH，即可得出结论．

解答 解：操作：如图1所示：
发现：当△ABC的边满足条件AB=BC时，AD∥BC；理由如下：如图2所示，
由对称的性质得：△ADC≌△ABC，
∴∠DAC=∠BAC，
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA，
∴∠DAC=∠BCA，
∴AD∥BC；
故答案为：AB=BC；
当△ABC的边满足条件AB=BC时，EF∥AC；理由如下：
由旋转的性质得：△AEF≌△ABC，
∴∠EFA=∠BCA，
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA，
∴∠EFA=∠BAC，
∴EF∥AC；
故答案为：AB=BC；
应用：四边形GHQR是菱形，理由如下：
由操作、发现可知：MG∥KH，RQ∥GH，
∴四边形GHQR是平行四边形，
∴∠PRG=∠GHK，
∵RQ∥GH，
∴∠RPG=∠KGH，
∵KG=KH，
∴∠KGH=∠KHG，
∴∠PRG=∠RPG，
∴RG=PG，
又∵PG=GH，
∴RG=GH，
∴四边形GHQR是菱形．

点评 本题是四边形综合题目，考查了轴对称的作图和性质、等腰三角形的性质与判定、平行线的判定与性质、旋转的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定等知识；本题综合性强，难度适中．