Question

【题目】在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．

（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时

①请说明△ADC≌△CEB的理由；

②请说明DE=AD+BE的理由；

（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接在横线上写出这个等量关系：__________；

（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接在横线上写出这个等量关系：__________．

Answer 1

【答案】（1）①证明见详解；②证明见详解；（2）DE=AD﹣BE；（3）DE=BE﹣AD.

【解析】

（1）①根据题意得∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，即∠DAC=∠BCE，再根据AAS即可得证；

②由①得到AD=CE，CD=BE，即可得证；

（2）类似（1）可证得∠ACD=∠EBC，推出△ADC≌△CEB，则AD=CE，CD=BE，代入已知即可得打答案；

（3）证明方法同（2）.

（1）①证明：如图1中，

∵AD⊥DE，BE⊥DE，

∴∠ADC=∠BEC=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，

∴∠DAC=∠BCE，

在△ADC和△CEB中，

，

∴△ADC≌△CEB（AAS）；

②证明：由①知△ADC≌△CEB，

∴AD=CE，CD=BE，

∵DC+CE=DE，

∴AD+BE=DE；

（2）结论：DE=AD﹣BE．

理由如下：

如图2中，∵BE⊥EC，AD⊥CE，

∴∠ADC=∠BEC=90°，

∴∠EBC+∠ECB=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ECB+∠ACE=90°，

∴∠ACD=∠EBC，

在△ADC与△CEB中，

，

∴△ADC≌△CEB（AAS），

∴AD=CE，CD=BE，

∴DE=EC－CD=AD－BE；

（3）结论：DE=BE﹣AD．

理由如下：如图3中，∵∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠BCE=90°，

又∵AD⊥MN，BE⊥MN，

∴∠ADC=∠CED=90°，

∴∠ACD+∠DAC=90°，

∴∠DAC=∠ECB，

在△ACD与△CBE中，

，

∴△ACD≌△CBE（AAS），

∴AD=CE，CD=BE，

∴DE=CD－CE=BE－AD.