Question

1．我们给出如下定义：两个图形G₁和G₂，在G₁上的任意一点P引出两条垂直的射线与G₂相交于点M、N，如果PM=PN，我们就称M、N为点P的垂等点，PM、PN为点P的垂等线段，点P为垂等射点．
（1）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点P（1，0）为x轴上的垂等射点，过A（0，3）作x轴的平行线l，则直线l上的B（-2，3），C（-1，3），D（3，3），E（4，3）为点P的垂等点的是B（-2，3），E（4，3）；
（2）如果一次函数图象过M（0，3），点M为垂等射点P（1，0）的一个垂等点且另一个垂等点N也在此一次函数图象上，在图2中画出示意图并写出一次函数表达式；
（3）如图3，以点O为圆心，1为半径作⊙O，垂等射点P在⊙O上，垂等点在经过（3，0），（0，3）的直线上，如果关于点P的垂等线段始终存在，求垂等线段PM长的取值范围（画出图形直接写出答案即可）．

Answer 1

分析 （1）如图1，分别过B，E作BGx轴⊥于G，EH⊥x轴于H，根据等腰直角三角形的判定和性质即可得到结论；
（2）①如图2，当垂等点N直线PM右侧时，根据余角的性质得到∠OMP=∠NPF．根据全等三角形的性质得到PF=OM，OP=FN．求得OF=4，FN=1．得到N（4，1）．于是得到结论；②如图3，当垂等点N直线PM左侧时，同理得到结论；
（3）如图4，当点P在第一和第三象限的角平分线上且PM∥OA时，PM取得最小或最大值，延长MP交OB于C，连接OP，根据已知条件得到直线AB的解析式为y=-x+3，根据等腰直角三角形的性质得到OC=PC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，于是得到结论．

解答 解：（1）如图1，分别过B，E作BGx轴⊥于G，EH⊥x轴于H，

∴BG=EH=3，PG=PH=3，
∴PB=PE=3$\sqrt{2}$，∠BPG=∠EPH=45°，
∴∠BPE=90°，B（-2，3），E（4，3）为点P的垂等点，
故答案为：B（-2，3），E（4，3）；
（2）①如图2，当垂等点N直线PM右侧时，

依题意，可知∠MOP=∠MPN=∠NFP=90°，PM=PN，
∵∠OPM+∠OMP=∠OPM+∠NPF=90°，
∴∠OMP=∠NPF．
在△MOP与△PFN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠MOP=∠NFP}\\{∠OMP=∠FPN}\\{PM=PN}\end{array}\right.$，
∴△MOP≌△PFN．
∴PF=OM，OP=FN．
∵P（1，0），
∴OF=4，FN=1．
∵点N在第一象限，
∴N（4，1）．
∴过点M、N的一次函数表达式为y=-$\frac{1}{2}$x+3；
②如图3，当垂等点N直线PM左侧时，

依题意同理可得N（-2，-1）
∴过点M、N的一次函数表达式为y=2x+3；
（3）如图4，


当点P在第一和第三象限的角平分线上且PM∥OA时，PM取得最小或最大值，
延长MP交OB于C，连接OP，
∵B（3，0），A（0，3），
∴直线AB的解析式为y=-x+3，
∵OP=1，
∴OC=PC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴N的纵坐标为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴横坐标为3-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴PM=PN=3-$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$=3-$\sqrt{2}$，同理P′M′=P′M′=3$+\sqrt{2}$，
∴PM长的取值范围：3-$\sqrt{2}$≤PM≤3+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，待定系数法求函数的解析式，解直角三角形，正确的作出图形是解题的关键．