Question

3．如图，在y轴正半轴上依次截取OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A_n-1A_n=1（n为正整数），过点A₁，A₂，A₃，…，A_n分别作y轴的垂线，与反比例函数y=$\frac{2}{x}$（x＞0）交于P₁，P₂，P₃，…，P_n，连接P₁P₂，P₂P₃，P₃P₄，…，P_n-1P_n，过点P₂、P₃、…、P_n分别向P₁A₁、P₂A₂、…、P_n-1A_n-1作垂线段，构成一列三角形（见图中阴影部分），记这一系列三角形的面积分别为S₁，S₂，S₃，…，S_n，则S₁+S₂+S₃+…+S_n-1=1-$\frac{1}{n}$．

Answer 1

分析 由OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A_n-1A_n=1可知P₁点的坐标为（x₁，1），P₂点的坐标为（x₂，2），P₃点的坐标为（x₃，3）…P_n点的坐标为（x_n，n），把y=1，y=2，y=3…y=n代入反比例函数的解析式即可求出x₁、x₂、x₃…x_n的值，再由三角形的面积公式可得出S₁、S₂、S₃…S_n-1的值，故可得出结论．

解答 解：∵OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A_n-1A_n=1，
∴设P₁（x₁，1），P₂（x₂，2），P₃（x₃，3），…P_n（x_n，n），
∵P₁，P₂，P₃…Pn在反比例函数y=$\frac{2}{x}$（x＞0）的图象上，
∴x₁=2，x₂=1，x₃=$\frac{2}{3}$…x_n=$\frac{2}{n}$，
∴S₁=$\frac{1}{2}$×（x₁-x₂）×1=$\frac{1}{2}$×1×（2-1）=1-$\frac{1}{2}$；
S₂=$\frac{1}{2}$×1×（x₂-x₃）=$\frac{1}{2}$×1×（1-$\frac{2}{3}$）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$；
S₃=$\frac{1}{2}$×1×（x₃-x₄）=$\frac{1}{2}$×1×（$\frac{2}{3}$-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$；
…
S_n-1=$\frac{1}{2}$（$\frac{2}{n-1}$-$\frac{2}{n}$），
∴S₁+S₂+S₃+…+S_n-1=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$=1-$\frac{1}{n}$．
故答案为：1-$\frac{1}{n}$．

点评 本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．