Question

如图（1），在平面直角坐标系中，梯形OABC如图放置，点B的坐标为（3，m），动点P从原点O出发，以1.2cm/s的速度沿OA运动到点A停止，同时动点Q从原点A出发，以1cm/s的速度沿AB→BC→CO运动到点O停止．设点P、Q出发t秒时，△OPQ的面积为Scm²．已知S与t的函数关系的图象如图（2）（曲线OD为抛物线的一部分）．
则下列结论：
①OA=AB=5cm；②梯形OABC的面积为18；③当0≤t≤5时，S=

12

25

t2；④线段EF的解析式为S=-3t+36（8≤t≤12）．
其中，正确的结论有

 

．（把你认为正确的结论的序号都填上）

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：根据图（2）判断出5秒时点P到达点A，点Q到达点B，然后求出OA、AB即可判断出①错误；过点B作BF⊥OA于F，可得四边形OFBC是矩形，根据矩形的对边相等可得OF=BC=3，然后求出AP=3，利用勾股定理列式求出BF，从而得到点B的坐标，再利用梯形的面积公式列式计算即可判断出②正确；利用∠OAB的正弦表示出点Q到OA的距离，再根据三角形的面积公式列式整理即可得到S与t的关系式，从而判断出③正确；根据AB、BC、OC的长度写出点E、F的坐标，设线段EF的解析式为S=kt+b（k≠0），利用待定系数法求一次函数解析式解答即可判断出④正确．

解答：解：由图（2）可知，5秒时，点P到达点A，点Q到达点B，
∵点P的速度是1.2cm/s，点Q的速度是1cm/s，
∴OA=1.2×5=6cm，AB=1×5=5cm，
∴OA≠AB，故①错误；
过点B作BF⊥OA于F，则四边形OFBC是矩形，
所以，OF=BC=cm3，
所以，AF=OA-OF=6-3=3cm，
由勾股定理得，BF=

AB2-AF2

=

52-32

=4cm，
所以，点B的坐标为（3，4），
梯形OABC的面积=

1

2

（BC+OA）•BF=

1

2

×（3+6）×4=18，故②正确；
0≤t≤5时，点P在OA上，OP=1.2t，
点Q在AB上，点Q到OA的距离=AQ•sin∠OAB=

4

5

t，
所以，△OPQ的面积=

1

2

•1.2t•

4

5

t=

12

25

t²，故③正确；
∵AB=5，BC=3，OC=4，
∴点E的坐标为（8，12），点F的坐标为（12，0），
设线段EF的解析式为S=kt+b（k≠0），
把点E、F代入得，

8k+b=12 12k+b=0

，
解得

k=-3 b=36

，
所以，线段EF的解析式为S=-3t+36（8≤t≤12）；
综上所述，正确的结论是②③④．
故答案为：②③④．

点评：本题考查了是二次函数综合题型，主要利用了三角形的面积，勾股定理，锐角三角函数，待定系数法求一次函数解析式，判断出5秒时点P到达点A，点Q到达点B是解题的关键，也是本题的突破口．