Question

4．如图，直线EF与MN相交于点O，∠MOE=30°，将一直角三角尺的直角顶点与O重合，直角边OA与MN重合，OB在∠NOE内部．操作：将三角尺绕点O以每秒3°的速度沿顺指针方向旋转一周，设运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，直角边OB恰好平分∠NOE？此时OA是否平分∠MOE？请说明理由；
（2）若在三角尺转动的同时，直线EF也绕点O以每秒9°的速度顺时针方向旋转一周，当一方先完成旋转一周时，另一方同时停止转动．
①当t为何值时，EF平分∠AOB？
②EF能否平分∠NOB？若能请直接写出t的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据：角度=速度×时间进行计算，由等量关系：直角边OB恰好平分∠NOE，列出方程求解即可．
（2）①由于OE的旋转速度快，需要考虑2种情形列方程解决．
②通过计算分析，OE，OB的位置，需要考虑2种情形列方程解决．

解答 解：（1）∵当直角边OB恰好平分∠NOE时，∠NOB=$\frac{1}{2}$∠NOE=$\frac{1}{2}$（180°-30°）=75°，
∴90°-3t°=75°，
解得：t=5．
此时∠MOA=3°×5=15°=$\frac{1}{2}$∠MOE，
∴此时OA平分∠MOE．
（2）①OE平分∠AOB，
依题意有30°+9t-3t=90°÷2，
解得t=2.5；
OF平分∠AOB，
依题意有30°+9t-3t=180°+90°÷2，
解得t=32.5．
故当t为2.5s或32.5s时，EF平分∠AOB
②OB在MN上面，
依题意有180°-30°-9t=（90°-3t）÷2，
解得t=14；
OB在MN下面，
依题意有9t-（360°-30°）=（3t-90°）÷2，
解得t=38．
故EF能平分∠NOB，t的值为14s或38s．

点评 本题目考查了角平分线的定义，旋转的速度，角度，时间的关系，应用方程的思想是解决问题的关键，还需要通过计算进行初步估计位置，掌握分类思想，注意不能漏解．