Question

8．如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与直线y=x+1相交于A（-1，0），B（4，m）两点，且抛物线经过点C（5，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上的一个动点（不与点A、点B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E．
①当PE=2ED时，求P点坐标；
②是否存在点P使△BEC为等腰三角形？若存在请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由直线解析式可求得B点坐标，由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）①可设出P点坐标，则可表示出E、D的坐标，从而可表示出PE和ED的长，由条件可知到关于P点坐标的方程，则可求得P点坐标；②由E、B、C三点坐标可表示出BE、CE和BC的长，由等腰三角形的性质可得到关于E点坐标的方程，可求得E点坐标，则可求得P点坐标．

解答 解：
（1）∵点B（4，m）在直线y=x+1上，
∴m=4+1=5，
∴B（4，5），
把A、B、C三点坐标代入抛物线解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{16a+4b+c=5}\\{25a+5b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=4}\\{c=5}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-x²+4x+5；
（2）①设P（x，-x²+4x+5），则E（x，x+1），D（x，0），
则PE=|-x²+4x+5-（x+1）|=|-x²+3x+4|，DE=|x+1|，
∵PE=2ED，
∴|-x²+3x+4|=2|x+1|，
当-x²+3x+4=2（x+1）时，解得x=-1或x=2，但当x=-1时，P与A重合不合题意，舍去，
∴P（2，9）；
当-x²+3x+4=-2（x+1）时，解得x=-1或x=6，但当x=-1时，P与A重合不合题意，舍去，
∴P（6，-7）；
综上可知P点坐标为（2，9）或（6，-7）；
②设P（x，-x²+4x+5），则E（x，x+1），且B（4，5），C（5，0），
∴BE=$\sqrt{（x-4）^{2}+（x+1-5）^{2}}$=$\sqrt{2}$|x-4|，CE=$\sqrt{（x-5）^{2}+（x+1）^{2}}$=$\sqrt{2{x}^{2}-8x+26}$，BC=$\sqrt{（4-5）^{2}+（5-0）^{2}}$=$\sqrt{26}$，
当△BEC为等腰三角形时，则有BE=CE、BE=BC或CE=BC三种情况，
当BE=CE时，则$\sqrt{2}$|x-4|=$\sqrt{2{x}^{2}-8x+26}$，解得x=$\frac{3}{4}$，此时P点坐标为（$\frac{3}{4}$，$\frac{119}{16}$）；
当BE=BC时，则$\sqrt{2}$|x-4|=$\sqrt{26}$，解得x=4+$\sqrt{13}$或x=4-$\sqrt{13}$，此时P点坐标为（4+$\sqrt{13}$，-4$\sqrt{13}$-8）或（4-$\sqrt{13}$，4$\sqrt{13}$-8）；
当CE=BC时，则$\sqrt{2{x}^{2}-8x+26}$=$\sqrt{26}$，解得x=0或x=4，当x=4时E点与B点重合，不合题意，舍去，此时P点坐标为（0，5）；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（$\frac{3}{4}$，$\frac{119}{16}$）或（4+$\sqrt{13}$，-4$\sqrt{13}$-8）或（4-$\sqrt{13}$，4$\sqrt{13}$-8）或（0，5）．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）①中用P点坐标分别表示出PE和ED的长是解题关键，在（2）②中用P点坐标表示出BE、CE和BC的长是解题的关键，注意分三种情况讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．