练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    （2012•高新区一模）已知二次函数的图象经过A（2，0）、C（0，-12）两点，且对称轴为直线x=4，设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．
    （1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；
    （2）如图1，在直线y=-2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
    （3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒
    		2
    个单位长度的速度由点P向点O运动，过点M作直线MN∥x轴，交PB于点N．将△PMN沿直线MN对折，得到△P1MN．在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒．问S存在最大值吗？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，待定系数法求出a、b和c的值，即可求出抛物线的解析式；
    （2）存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形，先求出B点的坐标，设直线BP的解析式为y=kx+m，根据题意求出直线的解析式，设D（x，-2x），则BD2=（-2x）2+（6-x）2，若四边形OPBD为等腰梯形，则（-2x）2+（6-x）2=32，解出x的值，D点的坐标即可求出；
    （3）当0＜t≤2时，用t表示出PH，MH，HN，利用二次函数的性质求出此区间函数的最值；当2＜t＜4时，P1G=2t-4，P1H=t，根据三角形相似，求出S△P1EF=3t2-12t+12，列出S和t的关系式，求出S最大值．
    解答：解：（1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，
    由题意得
    -
    b
    2a
    =4
    c=-12
    4a+2b+c=0
     
    ，
    解得
    a=-1
    b=8
    c=-12
    ，
    故抛物线的解析式为y=-x2+8x-12，点P的坐标为（4，4）；

    （2）存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形，理由如下：
    当y=0时，x2-8x+12=0，
    则x1=2，x2=6，
    则点B的坐标为（6，0），
    设直线BP的解析式为y=kx+m，
    则
    6k+m=0
    4k+m=4
    ，
    解得
    k=-2
    m=12
    ，
    则直线BP的解析式为y=-2x+12，
    则直线OD∥BP，
    ∵顶点坐标为P（4，4），
    ∴OP=4
    		2
    ，
    设D（x，-2x），则BD2=（-2x）2+（6-x）2，
    当BD=OP时，（-2x）2+（6-x）2=32，
    解得x1=
    2
    5
    ，x2=2，
    当x2=2时，OD=BP=2
    		5
    ，四边形OPBD是平行四边形，舍去，
    当x=
    2
    5
    时四边形OPBD为等腰梯形，
    故当D（
    2
    5
    ，-
    4
    5
    ）时，四边形OPBD为等腰梯形；

    （3）①当0＜t≤2时，
    ∵运动速度为每秒
    		2
    个长度单位，运动时间为t秒，则MP=
    		2
    t，
    ∴PH=t，MH=t，HN=
    1
    2
    t，
    ∴MN=
    3
    2
    t，
    ∴S=
    3
    2
    t•t•
    1
    2
    =
    3
    4
    t2，
    当t=2时，S有最大值=3，

    ②当2＜t＜4时，P1G=2t-4，P1H=t，
    ∵MN∥OB，
    ∴△P1EF∽△P1MN，
    ∴
    S△P1EF
    S△P1MN
    =（
    P1G
    P1H
    ）2，
    ∴
    S△P1EF
    3
    4
    t2
    =（
    2t-4
    t
    ）2，
    ∴S△P1EF=3t2-12t+12
    ∴S=
    3
    4
    t2-（3t2-12t+12）=-
    9
    4
    （t-
    8
    3
    ）2+4，
    当t=
    8
    3
    时，S有最大值=4，
    因为4＞3，
    故S存在最大值，S的最大值为4．
    点评：本题主要考查二次函数的综合题的知识点，本题涉及的知识点有抛物线解析式的求法，抛物线顶点坐标及对称轴的求法，第三问需要进行分类讨论，此题难度较大．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•高新区一模）温家宝总理在2012政府工作报告中指出：过去的一年，国内生产总值472000亿元，比上年增长9.2%；472000亿元用科学记数法可写为
    4.72×1013
    4.72×1013
    元．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•高新区一模）一个材质均匀的正方体的六个面上分别标有字母A、B、C，其展开图如图所示，随机抛掷此正方体，A面朝上的概率是
    1
    2
    1
    2
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•高新区一模）下面是李刚同学在一次测验中解答的数学题：
    ①若x2=4，则x=2，
    ②方程x（x-1）=2（x-1）的解为x=2，
    ③若x2+2x+k=0两根的倒数和等于4，则k=-
    12
    ，
    ④若x=0是方程（m-2）x2+3x+m2+2m-8=0的解，则m=2或-4．
    其中答对的是
    ③④
    ③④
    （填序号）

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•高新区一模）抛物线y=x2-2x-3与两坐标轴有三个交点，则经过这三个点的外接圆的半径为
    		5
    		5
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•高新区一模）对点（x，y）的一次操作变换记为P1（x，y），定义其变换法则如下：P1（x，y）=（x+y，x-y）；且规定Pn（x，y）=P1（Pn-1（x，y））（n为大于1的整数）．如P1（1，2）=（3，-1），P2（1，2）=P1（P1（1，2）=P1（3，-1）=（2，4），P3（1，2）=P1（P2（1，2）=P1（2，4）=（6，-2）．则P2012（1，-1）=
    （21006，-21006）
    （21006，-21006）
    ．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案