Question

【题目】已知关于x的一元二次方程x2=2（1﹣m）x﹣m2的两实数根为x1，x2

（1）求m的取值范围；

（2）设y=x1+x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．

Answer 1

【答案】（1）将原方程整理为 x2 + 2（m－1）x + m2 = 0．

∵ 原方程有两个实数根，

∴ △=" [" 2（m－1）2－4m2=－8m + 4≥0，得 m≤．

（2） ∵ x1，x2为x2 + 2（m－1）x + m2 = 0的两根，

∴ y = x1+ x2=－2m + 2，且m≤．

因而y随m的增大而减小，故当m =时，取得极小值1．

【解析】试题分析：(1)、若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，可求出m的取值范围；(2)、根据根与系数的关系可得出x1+x2的表达式，进而可得出y、m的函数关系式，根据函数的性质及(1)题得出的自变量的取值范围，即可求出y的最小值及对应的m值．

试题解析：(1)、将原方程整理为x2+2（m﹣1）x+m2=0； ∵原方程有两个实数根，

∴△=[2（m﹣1）]2﹣4m2=﹣8m+4≥0，得m≤；

(2)、∵x1，x2为一元二次方程x2=2（1﹣m）x﹣m2，即x2+2（m﹣1）x+m2=0的两根，

∴y=x1+x2=﹣2m+2，且m≤； 因而y随m的增大而减小，故当m=时，取得最小值1．