Question

如图，过△ABC内一点分别作三边的平行线，形成三个小三角形①、②、③，如果这三个小三角形面积分别为1、4、9，则△ABC的面积为

36

．

Answer 1

分析：由过△ABC内一点分别作三边的平行线，形成三个小三角形①、②、③，这三个小三角形面积分别为1、4、9，得到△GPF∽△PDE∽△HIP，△GPF∽△GDC，△GPF∽△AIF，△HIP∽△HBE，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得它们边长比为1：2：3，继而求得答案．

解答：解：过△ABC内一点分别作三边的平行线，形成三个小三角形①、②、③，这三个小三角形面积分别为1、4、9，
∴△GPF∽△PDE∽△HIP，△GPF∽△GDC，△GPF∽△AIF，△HIP∽△HBE，
∴它们边长比为1：2：3，
∴S_△GPF：S_△GDC=1：9，S_△GPF：S_△AIF=1：16，S_△HIP：S_△HBE=9：25，
∴S_{四边形FPEC}=9-1-4=4，S_{四边形AHPG}=16-1-9=6，S_△HBE=25，
∴S_△ABC=S_{四边形FPEC}+S_{四边形AHPG}+S_△HBE+S_△GPF=4+6+25+1=36．
故答案为：36．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用．