Question

如图，将圆C放置在直角坐标系中，圆C经过原点O以及点A（2，0），点B（0，2

3

）． 
（1）求圆心的坐标以及圆C的半径； 
（2）设弧OB的中点为D，请求出同时经过O，A，D三个点的抛物线解析式．
并判断该抛物线的顶点是否在圆C上，说明理由；
（3）若（2）中的抛物线上存在点P（m，n），满足∠APB为钝角，直接写出m的取值范围．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）作CN⊥OA，利用勾股定理可求出直径AB的长，进而可得圆的半径，再根据垂径定理求出ON，CN的长即可得到C的坐标；
（2）连接CD交OB于点M（如图所示），由垂径定理逆定理得CD⊥OB于点M，设所求抛物线的解析式为y=ax²+bx，将D（-1，

3

），A（2，0）代入求出a和b的值即可求出抛物线的解析式，进而可得到抛物线的顶点是否在圆C上；
（3）因为AB为直径，所以当抛物线上的点P在⊙C的内部时，满足∠APB为钝角，根据圆的轴对称性可知：-1＜m＜0，或2＜m＜3．

解答：解：（1）由∠AOB为直角，可知AB为圆直径，
由勾股定理得AB=

OA2+OB2

=4，
即圆O的半径等于2，
作CN⊥OA，
由垂径定理可知N是OA中点，
所以CN=

1

2

OB=

3

，ON=1，
即点C的坐标是（1，

3

），
（2）连接CD交OB于点M（如图所示），
由垂径定理逆定理得CD⊥OB于点M，
∴CM=

1

2

OA=1，
∴MD=1，
∴点D的坐标为（-1，

3

）
由于所求抛物线经过原点O，故设所求抛物线的解析式为y=ax²+bx，
将D（-1，

3

），A（2，0）代入上式得：

3 =a-b 0=4a+2b

，
解得

a= 3 3 b=- 2 3 3

．
∴抛物线解析式为：y=

3

3

x2-

2 3

3

x，
可求得它的顶点为（1，-

3

3

），
该点到圆心C的距离是

3

+

3

3

=

4 3

3

＞2，
所以顶点不在圆C上；
（3）因为AB为直径，所以当抛物线上的点P在⊙C的内部时，满足∠APB为钝角，根据圆的轴对称性可知：-1＜m＜0，或2＜m＜3．

点评：此题考查了圆与二次函数的综合知识，考查了待定系数法求二次函数的解析式，考查了圆的性质，考查了二次函数的对称性等，解题的关键是数形结合思想的应用．