Question

观察下列等式：

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，
将以上三个等式两边分别相加得：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3±4

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

=1-

1

4

=

3

4

，
（1）猜想并写出：

1

n(n+1)

=

 

．
（2）直接写出下列各式的计算结果：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2014×2015

=

 

．
（3）探究并利用以上规律计算：

1

2×4

+

1

4×6

+

1

6×8

+…+

1

2014×2016

．

Answer 1

考点：有理数的混合运算

专题：规律型

分析：（1）根据题意确定出拆项的方法，写出即可；
（2）原式利用拆项的方法变形，计算即可；
（3）原式利用拆项的方法变形，计算即可．

解答：解：（1）

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；
（2）原式=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2014

-

1

2015

=1-

1

2015

=

2014

2015

；
（3）原式=

1

2

×（

1

2

-

1

4

+

1

4

-

1

6

+…+

1

2014

-

1

2016

）=

1007

4032

．
故答案为：（1）

1

n

-

1

n+1

；（2）

2014

2015

点评：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．